Matemática básica

Matemática Básica - UVB

Aula 7 Derivada das funções II
Objetivos da Aula
Ao final dessa aula, os alunos devem ser capazes de: •Entender o conceito de Derivada; •Entender o conceito de derivada de funções compostas.

Derivada de uma função num ponto Introdução
Estudamos na aula anterior o seguinte quociente:
= f (x0
x)

– f (x0)

Como bem vimos, esta fórmula expressa a taxa média de variação da da função f quando x passa do valor x0 para o valor x0 + x. Estamos agora interessados em estudar o comportamento dos valores desta taxa média para pequenas variações x. Uma das maneiras de examinarmos este comportamento consiste em avaliar o limite do quociente quando x -> 0, pois tal limite, caso exista, nos fornece um valor aproximado do quociente valores de . para pequenos

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Por exemplo, se f (x) = x², a taxa média de variação entre os pontos x0 e x0 + x é dada por:

Logo, que é um valor aproximado de , para pequenos valores de x.

Definição
Seja f uma função definida em um intervalo aberto ]a, b[ e x0 um ponto deste intervalo. O limite

quando ele existe, isto é, quando ele é um número real, recebe o nome de derivada da função no ponto x0. Neste caso, dizemos também que f é derivável no ponto x0. E a derivada de f no ponto x0 será indicada por uma das seguintes expressões matemáticas: f' (x0), df (x0) , dy (x0) ou ainda por y’ (x0). dx dx

A definição anterior nos conduz a uma importante interpretação do significado da derivada de uma função no ponto. Dizer que f’ (x0) = lim significa dizer que f’ (x0) mede
0

aproximadamente f (x0)

para pequenos valores de

.

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Observemos também que a variação de da função, entre os pontos x0 e x0 + é dada aproximadamente por f’ (x0) , para pequenas variações de

Exemplo 1 Calcular e interpretar o valor da derivada da função y = x² no ponto x0 = 2. Solução: A derivada de y = x², no