Matematica

se revelar´a aos povos, surpreender´a a todos n˜ao por ser ex´otico mas pelo fato de poder ter sempre estado oculto quando ter´a sido o ´obvio.”
(O ´ındio/Caetano V.)
Introdu¸c˜ao: Decidi redigir um (pequeno) ensaio em fun¸c˜ao da palestra anunciada na p´agina anterior, depois mudei de id´eia e decidi ampliar o texto para disponibiliz´a-lo em minha home-page.
O objetivo desta palestra ´e esclarecer o significado da igualdade,
0, 999 . . . = 1 (1)
1 Igualdades esp´urias
Inicialmente chamamos a aten¸c˜ao para o fato de que, na matem´atica, existem igualdades que na verdade n˜ao s˜ao igualdades. Ou ainda, que precisam ser colocadas em seu devido contexto. Como um primeiro exemplo citamos a seguinte “igualdade”:
1
3
=
3
9
(2)
Todos sabemos que estas n˜ao s˜ao fra¸c˜oes iguais mas sim equivalentes, o que quer dizer que,
1
3
∼
3
9
⇔ 1 · 9 = 3 · 3 (3)
Outros exemplos de “igualdades esp´urias” encontramos quando do estudo dos n´umeros complexos. A bem da verdade, um n´umero complexo ´e um par ordenado de n´umeros reais. Em livros-texto nos deparamos com igualdades tipo, z = 1 + 2i = (1, 2)
Ou,
z = (1, 0) = 1 + 0i = 1
Estas “igualdades” s´o podem ser devidamente compreendidas dentro do conceito de isomorfismo entre estruturas alg´ebricas, um assunto pertinente `a ´algebra moderna; aqui s´o chamamos a aten¸c˜ao, nesta ´ultima igualdade, que ´e imposs´ıvel
(il´ogico) um par ordenado ser igual a um n´umero real. Por conseguinte, a rigor n˜ao ´e correto dizer que os Reais s˜ao subconjunto dos Complexos, uma vez que estes “conjuntos” tˆem elementos de naturezas distintas.
Voltando `a igualdade (2) entre fra¸c˜oes, talvez o leitor nunca − em toda a sua vida − tenha sentido a necessidade de fazer distin¸c˜ao entre igualdade e equivalˆencia entre fra¸c˜oes. Confesso que eu, uma ´unica vez senti esta necessidade, foi quando achei por bem corrigir uma quest˜ao em um gabarito de um cursinho. A quest˜ao era mais ou menos