Matematica

Limite de uma função de duas variáveis
Prof. Richard Evêncio da Silva www.richardevencio.com

1º Exemplo: Escolhemos uma unidade u de comprimento. Considerando um desenvolvimento em estágios em que o início é nada, o primeiro estágio é uma unidade de comprimento, o segundo são duas unidades de comprimento, o terceiro estágio são três unidades de comprimento, e assim sucessivamente, temos:

Início primeiro estágio segundo estágio terceiro estágio

u u u

u u

u

Continuando indefinidamente, a medida que o estágio vai aumentando, esse desenvolvimento tende a uma semi-reta:

Dizemos que o limite desse desenvolvimento, quando o número de estágio tende a infinito, é uma semi-reta.

2º Exemplo De modo análogo ao exemplo anterior, podemos gerar a reta. Começamos com um ponto 0:
Passamos para o 1º estágio
Passamos para o 2º estágio

Início

. u u u

.
0

u u u

.

e, assim sucessiva e indefinidamente, esse desenvolvimento vai tendendo à reta:

0 Dizemos, então, que o limite desse desenvolvimento, quando o número de estágios tende a infinito, é a reta.

.

3º Exemplo: A idéia geométrica de ponto também pode ser vista como o limite de um desenvolvimento. Começamos com um círculo de raio igual a uma unidade de comprimento u:

Início 0

Raio = u

Passamos para outro círculo cujo o raio é metade do anterior.

1º estágio

raio = u 2

Depois passamos para outro cujo raio é metade do anterior:

2º estágio

u raio = 2 = 2

u 4

E assim, sucessiva e indefinidamente, esse desenvolvimento vai tendendo ao ponto 0.

0

.
0

Dizemos, então, que o limite desse desenvolvimento, quando o número de estágios tende a infinito, é o ponto 0.

4º Exemplo:

Consideramos uma região quadrada de área igual a 1. Num primeiro estágio, colorimos metade dela:

Parte colorida: 1 da figura 2

No estágio seguinte, colorimos a metade da região e mais metade do que restou:

Parte colorida.

1 1 3 = + 4 4 2
Da figura