matematica

NÚMEROS COMPLEXOS 1. DEFINIÇÃO No conjunto dos números reais R, temos que a
2
= a . a é sempre um número não negativo para todo a. Ou seja, não é possível extrair a raiz quadrada de um número negativo em R. Dessa impossibilidade surge o conjunto dos números complexos C. Para definirmos tal conjunto inicialmente, assumimos a existência de um número complexo i tal que i
2
= - 1. Assumimos também que as operações de adição (+) e multiplicação estão definidas em
C, e que essas operações satisfazem as mesmas propriedades fundamentais no conjunto dos números reais (falaremos sobre essas operações mais adiante). Podemos agora definir o conjunto dos números complexos como sendo o conjunto dos números escritos na forma: z = a + bi, onde a e b são reais, sendo a chamado de parte real e b de parte imaginária. Simbolizamos as partes real e a imaginária com a seguinte notação: a = Re(z) e b = Im(z). Desta forma: z = Re(z)+ Im(z)i Definimos ainda que dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, serão iguais quando a = c e b = d. 2. OPERAÇÕES ELEMENTARES As operações de adição, subtração e multiplicação são feitas de maneira natural, considerando-se o número complexo como um binômio. Exemplo 1. Sejam z1 = 3 + 2i e z2 = 1 + 5i. Então, z1+ z2 = (3 + 2i) + (1 + 5i) = 4 + 7i z1- z2 = (3 + 2i) - (1 + 5i) = 2 – 3i z1.z2 = (3 + 2i) . (1 + 5i) = 6 +15i +2i + 10i
2
= 6 + 17i – 10 = - 4 + 17i Chamamos de conjugado de um número complexo z = a + bi ao número z = a −bi. Desta forma, para efetuar a divisão basta multiplicarmos os membros da fração pelo conjugado do denominador.