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COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III

3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br Exercícios de Operações com Polinômios – 2012 - GABARITO

1. Seja P(x) = ax² + bx + c, em que a, b, e c são números reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7, calcule P(3).

Solução. Substituindo os pontos indicados, temos:

.

2. Sendo P(x) = (x³ – 4x² + x + 1)20, a diferença entre o termo independente de P(x) e a soma dos coeficientes de P(x) vale:

a) 0 b) 2 c) 1 d) –1 e) –2

Solução. O termo independente de P(x) será (1)20 = 1. A soma dos coeficientes será P(1). Temos:
P(1) = [(1)3 – 4.(1)2 + (1) + 1]20 = [1 – 4 + 1 + 1]20 = [-1]20 = 1. A diferença será 1 – 1 = 0.

3. Determine a e b para que se verifique a identidade seja verificada para todo x real tal que x ≠ -1 e x ≠ -3.

Solução. Dois polinômios serão idênticos se os coeficiente dos termos de mesmo grau o forem. Repare que a fatoração de x2 – 2x – 3 é exatamente (x – 3).(x + 1). Igualando os denominadores e comparando os numeradores, temos:

.

4. Sejam P(x) = x2 – 4 e Q(x) = x³ – 2x² + 5x + a, onde Q(2) = 0. O resto da divisão de Q(x) por P(x) é

a) -x – 2 b) 9x – 18 c) x + 2 e) -9x + 18 d) 0

Solução. Se Q(2) = 0, então (2)3 – 2(2)2 + 5(2) + a = 0 => 8 – 8 + 10 + a = 0 => a = - 10. Substituindo esse valor e efetuando a divisão, temos: x³ – 2x² + 5x – 10 x2 + 0x – 4 -x3 + 0x2 + 4x x – 2 – 2x² + 9x – 10

2x² + 0x – 8

9x – 18

5. Seja o polinômio p(x) = 3x³ – x² + ax + 9, em que a é uma constante real. Se p(x) é divisível por x + 3, então ele também é divisível por:
a) x² + 9 b) x² – 9 c) 3x² +