Matematica

Questão 1 - O departamento de Marketing de uma empresa verificou que a demanda do produto A pode ser modelada pela função: , isto é, o preço do produto A está em função do número de unidades vendidas de A. O custo para se produzir x unidades deste produto é dado pela função custo C(x)=0,5x + 500. Qual é o preço de A que maximiza o lucro da empresa?

p (a) = 50/√x = 〖50 x〗^(-1/2)

receita:
R(x) = x . p(a)
R(x) = 〖50 x〗^(1/2) .......... x.〖 x〗^(-1/2)=x^(1/2)

C(x)=0,5x + 500
L(x) = R(x) – C(x)

L(x) = 〖50 x〗^(1/2)-(0,5+500)
L(x)’ = 1/2.50 . x^(1/2)-0,5-500
L(x)’ = 25x^(1/2)-0,5

L(x)’= 0 ........ para o lucro máximo
25x^(1/2)-0,5 = 0
25x^(1/2)=0,5
x^(1/2)=0,5/25 x=2500 substituindo ...... p (a) = 50/√x = 50/√2500 = 1

R: o preço de A que maximiza o lucro é R$ 1,00

Questão 2 – Um produtor rural usa um único insumo na fabricação de seu produto. O preço de custo deste insumo é de 10,00 reais por unidade e o produto acabado é vendido a 40,00 reais por unidade. A função produção obedece à relação , onde a variável x é a quantidade de insumo e a variável y a quantidade produzida.

a) Determine as funções Receita, Custo e Lucro.

R(x) = 40 √x
C(x) = 10x
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = 40 √x – 10x

b) Determine a quantidade de insumo necessária para maximizar o lucro.

(d L(x))/(d x)=20/√x-10 →(d L(x))/(d x)=0
20/√x-10→20-10 √x=0
√(x )=2 x=4 R: A quantidade que maximiza o lucro é 4