Matematica

Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática
Sociedade Brasileira de História da Matemática

O Primeiro Trabalho de Euler sobre Equações Diofantinas
Euler’s First Work on Diophantine Equations
Joice de Andrade Dantas1 John A. Fossa2

Resumo
Incentivado pelos amigos, especialmente os Bernoulli e Goldbach, Leonhard Euler desenvolveu um forte interesse na Teoria dos Números, incluindo a resolução de equações diofantinas, ou seja, a resolução de equações cujos coeficientes são números inteiros e cujas soluções também o são. O primeiro trabalho de Euler sobre a referida subárea da Teoria dos Números foi o De solutione problematum diophanteorum per números integros (“Sobre a solução de problemas diofantinos por números inteiros”). Foi publicado em 1738, embora tivesse sido apresentado à Academia de São Petersburgo cinco anos antes. No mencionado texto, Euler trata do problema de fazer com que a expressão generalizada do segundo grau seja igual a um quadrado perfeito, isto é, procura soluções no conjunto dos números inteiros para a equação ax2+bx+c = y2. Para tanto, Euler, através do uso inovador de métodos algébricos para resolver problemas número-teoréticos, mostra como encontrar mais soluções depois que uma primeira é conhecida. Na sua resolução, reduz o problema original à resolução de uma equação associado, a chamada “equação de Pell”, q2 = ap2+1. A redução resolve o problema, pois a sua solução já era conhecida na época de Euler. De fato, foi o próprio Euler que batizou essa equação com o nome de Pell, aparentemente porque pensava, erroneamente, que foi esse matemático inglês que havia encontrado a solução geral da equação. Há, no entanto, certo aspecto deselegante na solução de Euler, porque a sua procura de novas soluções acarreta cálculos aritméticos cada vez mais complicados. Para remediar a situação, Euler desenvolve duas regras de recorrência que geram a sequência de soluções (xi) e a sequência de lados do quadrado (yi), que permitem o