Matematica

Olá!
Segue um exemplo sobre diagonalização de uma matriz:

Dada a A=1-1-41

1º) Vamos encontrar os autovalores usando a equação: A – λI =0 Substituindo temos: 1-1-41-λ1001=0

Resolvendo a multiplicação fica: 1-1-41-λ00λ=0

Fazendo a operação: 1-λ-1-41-λ=0

Calculando o determinante desta matriz temos:
1-λ.1-λ-4=0
Resolvendo a multiplicação e fazendo as operações com os termos semelhantes chegamos ao seguinte polinômio característico: λ2-2.λ-4=0 Resolvendo a equação por Fórmula de Bháskara ou por soma e produto obtemos as raízes que serão os nossos autovalores: λ1=3 e λ2= -1
2º)Como já temos os autovalores podemos calcular os seus autovetores usando a fórmula
(A – λI).V = 0
Assim:
Para λ1=3, temos:
1-1-41-31001.xy=0
-2-1-4-2. xy=0
Resolvendo a multiplicação teremos um sistema:
-2x-y=0-4x-2y=0
Então temos: y= -2x que podemos escrever o autovetor como V1= x-2x logo 1-2.
Para λ2=-1, temos:
1-1-41+11001.xy=0
2-1-42. xy=0
Resolvendo a multiplicação teremos um sistema:
2x-y=0-4x+2y=0
Então temos: y= -2x que podemos escrever o autovetor como V2= x2x logo 12. Assim P = V1V2=11-22 também chamada de matriz diagonalizadora de A.
Como a matriz A é diagonalizável então os autovalores de A formaram a diagonal da matriz D, logo D = 300-1 que satisfaz a equação P-1A P=D. Ok!

Caso tenha alguma dúvida é só avisar.