MATEM FIN MAT APOIO

Washington Franco Mathias
José Maria Gomes

Matemática
Financeira
Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos
Material de Apoio (Portal Atlas)

5a Edição

SÃO PAULO
EDITORA ATLAS S.A. – 2008

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Matemática Financeira • Mathias e Gomes

Capitalização contínua
Admitamos uma importância de $ 1.000,00, que pode ser aplicada por 1 ano à taxa de 12% a.a. nas seguintes hipóteses de capitalização:
– anual
– semestral
– trimestral
– mensal
– diária
Vejamos o montante que resulta em cada uma das hipóteses de capitalização:
Capitalização

Montante ($)

Anual

1.120,00

Semestral

1.123,60

Trimestral

1.125,51

Mensal

1.126,83

Diária

1.127,47

Constatamos que o valor do montante aumenta à medida que aumentamos o número de capitalizações de uma dada taxa nominal. À primeira vista parece, inclusive, que o valor do montante cresce indefinidamente, à medida que as capitalizações vão sendo feitas com maior freqüência. Vejamos então o que ocorre quando admitimos uma capitalização horária:
0,12 ⎞
⎛
Ch = 1.000 ⎜ 1 +
⎟
24
× 365 ⎠
⎝

24×365

Ch ≅ 1.000 (1 + 0,000013699)8760
Ch ≅ 1.127,49
Este resultado nos permite inferir que o valor do montante não cresce indefinidamente com a freqüência de capitalização, tendendo para um limite. E, de fato, se admitirmos uma capitalização infinitamente grande, ou seja, que a capitalização seja feita em intervalos de tempo infinitesimais, teremos o montante como sendo:
C ≅ $ 1.127,50

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Cálculo do montante em capitalização contínua
Seja:

⎛
Cnk = C0 ⎜ 1 +
⎝
⎛
⎜⎛
Cnk = C0 ⎜⎜1 +
⎜⎜⎜
⎝⎜⎝

kn

i⎞
⎟
k⎠
⎞ ki ⋅ ni
1 ⎟⎞⎟
⎟
k ⎟⎟
⎟
i ⎠⎟⎠

Fazendo-se: k’ =

temos:

k i 1⎞
⎛
Cnk = C0 ⎜ 1 + ⎟ k' ⎠
⎝

k'ni

k'
⎡⎛
1⎞ ⎤
Cnk = C0 ⎢⎜ 1 + ⎟ ⎥ k' ⎠ ⎥⎦
⎢⎣⎝

Se:

Então:

ni

k → ∞ ⇒ k' → ∞

k ' ni ⎫
⎧ ⎡
1⎞ ⎤ ⎪
⎪
⎛
C’n = lim(Cnk ) = lim ⎨C0 ⎢⎜ 1 + ⎟ ⎥ ⎬ k ' →∞ k ' →∞ k ' ⎠ ⎥⎦ ⎪
⎪⎩ ⎢⎣⎝
⎭

k'
⎡
1⎞ ⎤
⎛
C’n = C0 ⎢ lim ⎜ 1 + ⎟ ⎥ k' → ∞ k' ⎠ ⎥⎦
⎝
⎣⎢

ni

Demonstra-se em cálculo que: k' 1⎞
⎛
lim ⎜ 1 + ⎟ = e k → ∞ k' ⎠
⎝
Onde e é um