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Tensores Cartesianos

Mecânica II

Notas de apoio à disciplina de Mecânica II

Vitor Leitão
Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura
Instituto Superior Técnico
Lisboa, 2011 [e-mail] -1-

TENSORES CARTESIANOS. Notação indicial e notação matricial. Índices livres e índices mudos. Vectores em referenciais ortonormados directos. Vectores de base. Símbolo de
Kronecker e símbolo de permutação. Produtos interno, externo e misto de vectores.
Convenção de soma. Transformações lineares (TL): definição, as suas componentes numa base tri-ortonormada directa, transposta de uma TL, decomposição de uma TL em parcela simétrica e parcela anti-simétrica. Mudanças de base: transformação dos vectores de base, matriz dos

cossenos

directores,

relações

de

ortogonalidade.

Transformação

das

componentes de vectores e de transformações lineares. Tensores simétricos de segunda ordem: valores e vectores próprios, forma canónica, invariantes. Propriedades da solução do problema de valores e vectores próprios. Parcela isotrópica e tangencial (ou deviatórica) de um tensor simétrico.

Tensores – são, de certa forma, generalizações de vectores.

Cálculo Tensorial pode, da mesma forma, ser visto como uma generalização do Cálculo Vectorial/Matricial.

Trabalhar com tensores requer o uso da chamada “notação indicial”.
Esta notação também é uma forma conveniente de representar componentes de vectores.

Faz sentido rever os conceitos básicos do Cálculo Vectorial/Matricial.

Vectores – são entidades geométricas caracterizadas por direcção, sentido e intensidade ou módulo.

-2-

Os vectores são normalmente definidos através das suas componentes cartesianas, isto é, são definidos em sistemas de coordenadas em que cada eixo

considerar

é

independente

essencialmente

dos

restantes.

sistemas

Neste

tridimensionais

estudo

vamos

ortonormados

directos.

O que é relevante é que