Lista raizes

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Computação
Cálculo Numérico

Lista de Exercícios – Resolução de Equações Não Lineares
1) Para a delimitação das raízes reais de uma equação polinomial, além do teorema de Lagrange, existem vários outros como, por exemplo, o apresentado a seguir.

Se em uma equação polinomial com coeficientes reais

f (x) = anxn + an - 1xn - 1 + ... + a0 = 0 (an > 0) cada coeficiente negativo, tomado em módulo, é dividido pela soma de todos os coeficientes positivos que o precedem, a cota superior positiva para as raízes reais será o maior dos resultados obtidos, aumentado em uma unidade.
A título de exemplo, considere-se a equação f(x) = x3 - 9x2 + 24x - 36 = 0. Seus coeficientes negativos são -9 e -36. Tomando-se cada um em módulo e dividindo pela soma dos coeficientes positivos que o precedem, obtém-se c1 = 9/1 = 9 e c2 = 36/(1 + 24) = 1,44. Sendo assim, um limitante superior positivo para as raízes da equação é LSP = 9 + 1 = 10.
Para obter um limitante inferior negativo, basta utilizar o mesmo procedimento do teorema de
Lagrange, ou seja, obter a equação auxiliar f1(x) = f(-x) = 0 e a ela aplicar o teorema.
Dada a equação f(x) = x4 - 2x3 - 5x2 +12x - 5 = 0, pede-se
a) utilizando o teorema de Lagrange e o teorema enunciado acima, delimite as suas raízes reais;
b) tome o melhor resultado obtido no item (a) e aplique a Regra dos Sinais de Sturm para enumerar as raízes reais;
c) isole as suas raízes reais;
d) calcule uma raiz real da equação utilizando o método de Newton-Raphson com precisão 0,001 e um máximo de 5 iterações.
2) O Engenheiro recém formado M.J. Hesitant projetou um reservatório de água na forma de semiesfera de raio 4m que será utilizado em um prédio e cometeu um erro no cálculo: o volume de água possível nesse reservatório é bem maior que 50m3, estabelecido como limite. Dessa forma, é preciso determinar o nível h máximo que a água pode atingir