lista de derivadas

An´ alise Matem´ atica III
Exerc´ıcios

Aplica¸ c˜ oes dos Teoremas da Divergˆ encia e
Stokes
1 Demonstre a Lei de Gauss do electromagnetismo:
Como o campo el´ectrico E e a densidade de carga el´ectrica ρ satisfazem a primeira equa¸c˜ ao de Maxwell em R3 , divE = ρ, ent˜ao o fluxo do campo el´ectrico
E para fora de uma superf´ıcie regular fechada e limitada ´e igual `a carga el´ectrica total contida no volume limitado por essa superf´ıcie.
(nota: as constantes f´ısicas foram postas igual a 1.)
2 Demonstre a Lei de Amp`ere da magnetoest´atica (todos os campos se assumem estacion´arios, i.e. independentes do tempo):
Como o campo magn´etico B e a densidade de corrente el´ectrica (por unidade de volume) J satisfazem a quarta equa¸c˜ao de Maxwell em R3 , rotB = J, ent˜ao a circula¸c˜ao de B ao longo de um caminho regular fechado γ que limita uma superf´ıcie regular S ´e igual ao fluxo da densidade de corrente el´ectrica J atrav´es de S.
(nota: as constantes f´ısicas foram postas igual a 1.)
3 Seja φ um campo escalar C 2 e f = (f1 , f2 , f3 ) um campo vectorial C 2 em
R . Designa-se por Laplaciano de φ o campo escalar lap φ = div(∇φ).
3

a) Mostre que lap φ =

∂2φ ∂2φ ∂2φ
+ 2 + 2.
∂x2
∂y
∂z

b) Mostre que div(φf ) = ∇φ · f + φ div(f ).
c) Mostre que div(rotf ) = 0.
d) Mostre que rot(rotf ) = ∇(divf ) − (lapf1 , lapf2 , lapf3 ).
4 Seja V um aberto em R3 limitado por uma superf´ıe fechada regular S com normal exterior unit´ aria n. Sejam f, g campos escalares C 2 em R3 . Mostre que:
a)

S

∇f · n =

b)

S

(f ∇g · n) −

V

lap f .
S

(g∇f · n) =

V

(f lap g − g lap f ).

5 Um campo escalar f , de classe C 2 em R3 , diz-se harm´ onico se lapf = 0.
Sejam V , S e n como no exerc´ıcio anterior. Sejam f e g campos escalares harm´ onicos. Mostre que:
a)

S

∇f · n = 0.

b)

S

f ∇g · n =

S

g∇f · n.
1

c)

S

f ∇f · n =

V

∇f · ∇f .

6 Este exerc´ıcio trata de um exemplo de lei