Lista de Aplica o Semana 10

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica

C´ alculo 1
Lista de Aplica¸c˜ ao – Semana 10
Temas abordados: Fun¸c˜oes logaritmo e exponencial; Regras de l’Hˆopital
Se¸c˜oes do livro: 4.4, 4.5
1) Denote por v(t) a velocidade de um corpo de massa m = 0, 1 kg que foi lan¸cado verticalmente com velocidade inicial v(0) = 63 m/s e sujeito a uma for¸ca de resistˆecia do ar
F R = −v(t). Nesse caso, usando a aproxima¸c˜ao g = 10 m/s2 da acelera¸ca˜o da gravidade, pode-se mostrar que v(t) ´e solu¸ca˜o do problema de valor inicial


 v (t)
= −10, t > 0,
1 + v(t)

 v(0) = 63
Para encontrar a solu¸c˜ao v(t), resolva os itens seguintes.
(a) Calcule as derivadas das fun¸co˜es ln(1 + v(t)) e −10 t.
(b) Lembrando que se uma fun¸ca˜o tem derivada identicamente nula em um intervalo I, ent˜ao ela ´e constante em I, use o item anterior e as informa¸c˜oes dadas para obter uma rela¸ca˜o entre as fun¸co˜es ln(1 + v(t)) e −10 t.
(c) Use o item anterior e a condi¸ca˜o inicial v(0) = 63 para obter a express˜ao de v(t).
(d) Determine o instante em que o corpo alcan¸ca a altura m´axima.
2) O mecanismo de suspens˜ao dos autom´oveis consiste num sistema composto de uma mola e de um amortecedor. Denotando por s(t) a posi¸c˜ao vertical de um ve´ıculo de massa m em rela¸c˜ao a posi¸ca˜o de equil´ıbrio, temos que a for¸ca da mola ´e dada, pela lei de
Hooke, por F = −ks(t) e a for¸ca do amortecedor ´e dada por R = −bv(t), onde v(t) ´e a velocidade instantˆanea e a constante b ´e denominada viscosidade do amortecedor. Como a for¸ca resultante ´e F + R, pela Segunda Lei de Newton, temos que
(∗) ma(t) = −ks(t) − bv(t) para t > 0. Suponha que, em unidades adequadas, m = 1, b = 4 e k = 4 e considere s(t) = −3te−2t .
(a) Calcule v(t) e a(t) e verifique que a equa¸c˜ao (∗) ´e satisfeita. (b) Calcule os pontos cr´ıticos de s(t) e determine seus extremos locais e seus intervalos de crescimento e decrescimento. (c) Determine os pontos de inflex˜ao de s(t) e os intervalos onde a concavidade ´e