Lista 2 Modelos

MODELOS PROBABILISTICOS

Lista de Exercícios nº 02

1 – O proprietário de uma barbearia de uma só cadeira pretende expandi-la. As observações indicam que durante o período de tempo requerido para cortar o cabelo de uma pessoa, pode haver 0, 1, 2, ou 3 novas chegadas, com probabilidade 0,3; 0,4;
0,2; 01 respectivamente. A casa tem uma capacidade fixa de seis pessoas. Seja {X n} o número de pessoas na barbearia por ocasião do corte no n-ésimo cliente.
(a) Mostre que {Xn} é uma cadeia de Markov.
(b) Ache a matriz de transição de 1 passo.

2 – Um jogador joga um ´jogo limpo´ no qual as chances são 2 contra 1, ou seja, ele tem 1/3 de probabilidade de ganhar e 2/3 de perder. Se ganhar, ganhará R$ 2. Se perder, perderá R$ 1. Suponha que os recursos totais do jogador e do seu oponente sejam de N reais. Se o capital de qualquer dos jogadores ficar abaixo do ponto em que eles consigam pagar caso percam o jogo seguinte, o jogo termina. Seja {Xn} o capital do primeiro jogador após n jogadas.
(a) Determine a matriz de transição de 1 passo de {Xn}
(b) Suponha que os dois jogadores concordem em que, se o capital de qualquer dos dois cair para R$ 1, eles farão o próximo jogo com chances iguais.
Determine a matriz de transição de 1 passo para esse caso.

3 – Uma determinada fábrica possui 2 máquinas e uma equipe de reparos. Suponha que a probabilidade de qualquer máquina vir a se quebrar em um dado dia seja α.
Suponha que caso a equipe de reparos esteja trabalhando em uma máquina, a probabilidade de que venham a completar os reparos em mais um dia seja β. Para simplificar, ignore a possibilidade de que um término de reparo ou de uma avaria ocorrerem outro caso que não seja ao final de um dia. Seja {X n} o número de máquinas em funcionamento no final do n-ésimo dia e considere que {Xn} seja uma cadeira de
Markov.
(a) Determine a matriz de transição de 1 passo.
(b) Se o sistema começa com ambas as máquinas em funcionamento, qual a probabilidade de que ambas estejam em funcionamento