Limite exponencial

O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais como, por exemplo: crescimento populacional, crescimento de população de bactérias, datação por carbono, circuitos elétricos, entre outros.
Foi John Napier (1550-1617), matemático escocês, o responsável pelo desenvolvimento da teoria logarítmica utilizando o número e como base. Tinha a intenção de agilizar cálculos como na astronomia. A ideia básica do matemático é, que qualquer numero com a base fixa seja 0, no modo em que multiplica/dividir dois números seria equivalente soma/ subtrair os expoentes da potência. Ou seja, uma multiplicação simplificada utilizando potências. O número e é irracional e vale aproximadamente: e = 2,7182818…
Devido à sua vasta aplicação, a função exponencial f (x) = ex é considerada uma das funções mais importantes da matemática.
Seja o limite exponencial: Vamos fazer uma mudança de variável, onde: Logo, substituindo (2) em (1), obtemos: u→+∞ quando Δx→0+ e que u→−∞ quando Δx→0−. Assim, as equações podem ser escritas como: Ou simplesmente: Consideremos o fato que um número: Sendo válido para todos os valores reais de k e sendo b > 0.
Assim:

A prova se dará quando: Pois, então:

virá como continuidade da função exponencial.
Podemos provar o limite dado em (7). Para isso, façamos:

Assim:

Utilizando-se do teorema dado em (1), podemos estabelecer: Quando a>0, façamos u=h/a, observando que u→+∞ quando h→+∞. Portanto:

Façamos , então: Para a verificação, podemos usar noções de série e utilizaremos uma tabela de aproximações: Então, se: Se x→∞, então t→0, logo: Referências:
[1] Cálculo com Geometria Analítica – Munem – Foulis