Leis de potência

Lei de potência
Luís Eduardo E. de Araujo
O trabalho experimental em ciência freqüentemente envolve o estudo da relação entre duas variáveis. Um exemplo seria como a distância s percorrida por uma esfera em queda livre varia com o tempo t de queda. Em um experimento deste tipo, a variável dependente (distância) é medida para vários valores da variável independente (tempo).
Os dados de tal experimento podem ser registrados no formato de uma tabela:
Tabela 1 – Distância percorrida durante a queda livre em função do tempo.
Tempo (s)
0,89
1,26
1,55
1,79

Distância (m)
4
8
12
16

2,00

20

2,19

24

2,37

28

2,53

32

Entretanto, números em uma tabela como a acima não transmitem facilmente a relação entre as variáveis. Para facilitar a visualização dessa relação, lançamos os dados da tabela em um gráfico. Vemos na Figura 1 que a relação entre distância e tempo não é linear. Figura 1 – Distância percorrida por uma esfera em queda livre em função do tempo de queda em um gráfico de escala linear.

Quando uma das grandezas medidas (s) depende da outra (t) elevada a certa potência
(n), dizemos que s segue uma lei de potência (ou lei de escala):
=

.

(1)

É muito difícil olhar para uma curva como a da Figura 1 e dizer com confiança se a dependência é quadrática, cúbica, etc. Entretanto, uma simples transformação de

variáveis pode converter a relação entre as grandezas para uma dependência linear.
Tirando o logaritmo da Equação (1) nos dois lados, obtemos: log = log

+

log

.

(2)

Podemos identificar a Equação (2) com a equação de uma reta: y = A + B x se fizermos y = log(s) e x = log(t). O coeficiente angular
=

(3)

=

fornece o expoente n da lei de escala: n = B. O coeficiente linear A dá a constante de proporcionalidade k da lei de escala: log(k) = A, ou k = 10A. O coeficiente linear corresponde ao valor de y quando x = 0.
Tirando o logaritmo dos dados da Tabela 1 encontramos:
Tabela 2