Lei de Gauss

Lei de Gauss

No capítulo anterior vimos como encontrar o campo elétrico devido configurações contínuas de cargas utilizando a Lei de Coulomb. Em certas situações em que há certas simetrias podemos encontrar o campo elétrico da configuração utilizando outro método: a Lei de Gauss.
A Lei de Gauss relaciona a carga no interior de uma superfície gaussiana (imaginária e fechada) com o campo elétrico nos pontos da superfície.

Fluxo de Campo Elétrico
Como sabemos o produto escalar entre dois vetores ⃗ e ⃗ é definido como:
⃗⋅ ⃗=

+

+

(3.1)

ou:
⃗⋅ ⃗=

(3.2)

Onde é o ângulo entre os vetores ⃗ e ⃗. Note que o produto escalar entre dois vetores gera um número (escalar) e não um vetor.
O fluxo de campo elétrico devido um campo elétrico ⃗ uniforme sobre uma superfície plana de área é definido como:
Φ = ⃗⋅ ⃗

(3.3)

Φ =
Onde ⃗ é o vetor área, definido como um vetor de módulo e que faz 90° com a superfície. O ângulo é o ângulo entre o vetor campo elétrico e o vetor área.

De um modo geral, trabalhamos com vetores cujo módulo, direção e sentido variam no espaço e com superfícies curvas. Quando isso acontece dividimos a superfície em infinitos elementos de área ⃗. O fluxo de campo elétrico em cada elemento é dado por: dΦ = ⃗ ⋅

⃗

O fluxo total é a soma do fluxo em toda a superfície. Assim:
Φ=

⃗⋅

⃗

(3.4)

A integral acima deve ser realizada sobre toda a superfície.
Seja a superfície fechada da figura. Dividimos a superfície em infinitos elementos. Podemos distinguir três situações distintas para o fluxo nos elementos em função do ângulo entre o campo e o vetor área do elemento:
- Se 0 ≤ < 90°, então o fluxo sobre o elemento é positivo. Note que nesta situação as linhas de campo estão saindo da superfície.
- Se 90° ≤ < 180°, então o fluxo sobre o elemento é negativo. Note que nesta situação as linhas de campo estão entrando na superfície.
- Se = 0, então o fluxo sobre o elemento é nulo. Nesta situação as linhas