Introdução ao Cálculo

C´alculo - Introdu¸c˜ao
Alexandre N. Carvalho
March 4, 2007

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Chapter 1
Introdu¸c˜
ao
1.1

Porque Estudar C´ alculo No que segue apresentamos alguns exemplos que pretendem demosntrar que a matem´atica desenvolvida at´e o final do ensino m´edio ´e insuficiente para atacar alguns problemas importantes com os quais nos deparamos.
Come¸camos recordando um problema elementar de f´ısica do ensino m´edio.
Exemplo 1.1.1 (Lan¸camento Obl´ıquo de um Proj´etil). Imagine que, em uma batalha, saibamos que os proj´eteis lan¸cados pelos nossos canh˜ oes tenham velocidade V0 ao sair do canh˜ ao e que o inimigo situa-se a uma distˆancia d de nossos canh˜ oes. Qual ´e ˆangulo de disparo para que o alvo seja atingido? Qual ´e o alcance m´aximo de nossos canh˜ oes? Qual ´e a altura m´axima que o proj´etil alcan¸car´ a? ❃
❧

V0

y✻

θ

❡
❡
✈

❡

❡
❡
❝

✲

x

Solu¸c˜ ao: Em primeiro lugar, para resolver este problema, ´e preciso encontrar um modelo matem´atico para o lan¸camento obl´ıquo de um proj´etil. Para encontrar este modelo fazemos algumas suposi¸c˜oes:
Suponhamos que
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CHAPTER 1. INTRODUC
¸ AO

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• a resistˆencia do ar ´e desprez´ıvel,
• a acelera¸ca˜o da gravidade ´e constante,
• o ˆangulo de lan¸camento ´e θ ∈ (0, π2 ),

• a altura do canh˜ao relativemente ao solo ´e desprez´ıvel e que
• a altitude seja constante no campo de batalha.
Seja m a massa do proj´etil. A velocidade inicial V0 do proj´etil pode ser decomposta em velocidade vertical e velocidade horizontal iniciais, isto ´e

Vv

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✑
✑

V0

✑

✑
✑θ

✑

✑

Vh

Vv0 = V0 senθ,
Vh0 = V0 cosθ.
Se g denota a acelera¸ca˜o da gravidade a velocidade vertical depende do tempo atrav´es da rela¸ca˜o Vv (t) = V0 senθ − gt

(1.1.1)

enquanto que a velocidade horizontal ´e constante ao longo do tempo. O proj´etil atingir´a a altura m´axima no instante tM tal que Vv (TM ) = 0, ou seja tM =

V0 senθ. g

(1.1.2)

Como