Integral

Profa. Ana Flavia Barroso - Cálculo Diferencial e Integral II - 28/08/2012

Integral Indefinida

Introdução

Na matemática freqüentemente ocorre conhecer-se a derivada de uma função, e desejar-se encontrar a função que a gerou. Por exemplo, conhecendo-se a velocidade [pic] de uma partícula e deseja encontrar-se sua posição em determinado instante [pic], isto é, [pic]. Para resolver esse problema é necessário “desfazer” a derivação (ou diferenciação), isto é, tem-se de antiderivar a função.

Definição: Uma função [pic] é denominada uma antiderivada de [pic] sobre um intervalo [pic] se [pic] para todo [pic] em [pic].
Por exemplo, seja a função [pic]. Não é difícil descobrir uma anti derivada de [pic] caso se mantiver a regra da potência em mente. De fato se [pic], então [pic]. Mas, a função [pic] também satisfaz [pic]. Conseqüentemente, ambas [pic] e [pic] são antiderivadas de [pic]. Assim, qualquer função do tipo [pic], onde [pic] é uma constante, é uma antiderivada de [pic].

Porém, a questão é: Afora esta família de antiderivas existem outras ?

Lembrando que o Teorema do Valor Médio prova que se duas funções possuem derivadas idênticas, em um intervalo, então elas diferem apenas por uma constante. Assim, se [pic] e [pic] são duas antiderivadas quaisquer de [pic], então

[pic] logo [pic] onde [pic] é uma constante, ou seja, [pic]. Assim, pode escrever-se:

Teorema: Se [pic] for uma antiderivada de [pic] em um intervalo [pic], então a antiderivada mais geral de [pic] em [pic] é

[pic]

onde [pic] é uma constante Arbitrária.

Exemplo: Tomando a função [pic], sua derivada é obtida, multiplicando-se a variável [pic] pelo expoente [pic] e em seguida subtraindo uma unidade do expoente de [pic], ou seja [pic] e a sua diferencial é [pic], isto é, [pic]. Finalmente, a operação inversa é definida pela soma de uma unidade ao expoente da variável [pic], dividindo-a por esse novo expoente e somando-se uma constante aleatória [pic] à