Integral

13 Integral Definida
Se f é uma função de x, então a sua integral definida é uma integral restrita à valores em um intervalo específico, digamos, a ≤ x ≤ b . O resultado é um número que depende apenas de a e b, e não de x. Vejamos a definição:

Definição: Seja f uma função contínua no intervalo [a, b]. Suponha que este intervalo seja dividido em n partes iguais de largura ∆x = (b − a ) / n e seja x j um número pertencente ao jésimo intervalo, para j = 1, 2, ..., n. Neste caso, a integral definida de f em [a, b], denotada por

∫ a b

f ( x)dx , é dada por

∫ a b

n  f ( x)dx = lim ∑ f ( x j ) ∆x , se este limite existir. n → +∞  j =1 

Pode-se mostrar que se a função y = f (x) é contínua em um intervalo [a, b] , então ela é integrável em [a, b] .

Interpretação geométrica:
Suponha que y = f (x) seja contínua e positiva em um intervalo [a, b] . Dividimos este intervalo em n sub-intervalos de comprimentos iguais, ou seja, de comprimento ∆x =

b−a , de n

modo que a = a0 < a1 < a2 < ... < an = b. Seja xj um ponto qualquer no sub-intervalo [a k −1 , a k ] , k = 1, 2,..., n . Construímos em cada um desses sub-intervalos retângulos com base ∆x e altura f ( x j ) , conforme a figura abaixo:

A j = f ( x j )∆x

f(x)

a

xj

b

A soma das áreas dos n retângulos construídos é dada pelo somatório das áreas de cada um deles, isto é:

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 n  Aretângulos = ∑ f ( x j ) ∆x .  j =1 
Intuitivamente é possível admitir que à medida que n cresce, ∆x diminui, e

conseqüentemente o somatório anterior converge para a área A da região limitada pelo gráfico de f e pelas retas y = 0, x = a e x = b. Portanto, a área desta região é dada por

 n  A = lim ∑ f ( x j ) ∆x . n →∞  j =1 
Mas este limite é exatamente igual à definição de integral definida e com isso observamos que a integral definida de uma função contínua e positiva, para x variando de a até b, fornece a

área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo-x e