Integrais

Integrais
Primitivas: dizemos que f(x) é uma primitiva de f(x) se f’(x) = f(x)

ex: uma, primitiva de f(x)= x² é f(x)= x³/3.
(x³/3)= 3x²/3= x²
Proposição (teorema do valor médio): seja f(x) definida em [a,b]. Se f(x) é derivável em (a,b), então existe c E [a,b] tal que f(b) – f(a)/ b-a= f’ (c) teorema: se f(x) é tal que f’(x)=0, p/ todo XE[a,b] então f(x) é uma função constante.
Prova: seja f(a)=k e XE (a,b). pelo TVM existe um número c E [a,b] tal que f(x)- f(a)/x-a= f’(c)=0. Logo f(x) – f(a)=0, e portanto f(a)=k= constante.
Ex: A derivada da função f(x)= {1, se x>0 ou -1, se x<0 } é o, mas f(x) não é uma função constante.
Teorema: se f(x) e g(x) são primitivas de f(x), então f(x)= g(x)+ c, onde c= constante.
Prova: seja h(x)= f(x)-g(x). então h’(x)=f’(x)-g’(x)=0, pois f’(x)=g’(x)=f(x). logo h(x) é constante isto é, H(x)= c= f(x)- g(x)  f(x)= g(x) + C.

área sob uma curva. Seja f(x)≥0 a função dada pelo gráfico abaixo.
Gráfico 1
Tomemos pontos em [a,b] tais que x0= a, x1, x2, ..., xn=b seja mínimo f(x) e máximo f(x) o menor e maior valor de f(x) no intervalo [xi, xi+1]. Então a área procurada está entre: ∑ (xi+1-xi) mínimo ≤A ≤ ∑ (xi+1-xi) max
Teorema: seja f(x) contínua em [a,b]. então
Lim ∑(xi+1-xi). Min f = lim ∑(xi+1-xi). Máx f
Definimos a área sob o gráfico de f(x) como um dos limites acima.
Teorema (Teorema Fundamenta do Calculo):
Seja f(x) contínua em [a,b]. Se f(x) é uma primitiva de f(x), então:
F(b) – F(a) = lim (xi+1-xi) min f máx (xi+1-xi)0
Notação: Indicaremos por ʃ f (x) dx a primitiva de f(x); (ou integral indefinida) b ʃ f(x) dx = f(b) – f(a) a integral definida de f(x), entre a e b. a b b b
F(b) – F(a) = [ f(x) ]  ʃ f(x) dx = [f(x) ] a a a

ex: Calcule
a) ʃ x² dx= x³/3 + C
b) ʃ x² dx = [x³/3]

Tabela de primitivas.

Regras de integração: sejam f(x) e g(x) contínuas, k