integrais

ula 15
Integrais inde¯nidas
15.1
Antiderivadas
Sendo f(x) e F(x) de¯nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que
F ¶e uma antiderivada ou uma primitiva de f, em I, se F0(x) = f(x) para todo x 2 I.
Ou seja, F ¶e antiderivada ou primitiva de f se F ¶e uma fun»c~ao cuja derivada ¶e f.
Como primeiros exemplos, temos f(x) primitiva de f(x)
3x2
x3
2
2x ex ex senx ¡cosx
Observa» c~ao 15.1 Se F ¶e antiderivada de f em I, e c ¶e uma constante, ent~ao F +c tamb¶em ¶e uma antiderivada de f em I.
De fato, se F0(x) = f(x), para todo x 2 I, ent~ao
[F(x) + c]0= F0(x) = f(x), e portanto F(x) + c tamb¶em ¶e uma antiderivada de f(x) em I.
Assim, por exemplo x3, x3+ 5 e x3¡p2 s~ao primitivas de 3x2.
Veremos agora que, em um intervalo I, duas primitivas de uma mesma fun»c~ao diferem entre si por uma constante.
Proposi»c~ao 15.1 Se F1e F2s~ao antiderivadas de f, em I ½ R, ent~ao existe c 2 R tal que F1(x) = F2(x) + c, para todo x 2 I.
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Integrais indefinidas
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Para demonstrar a proposi» c~ao 15.1, faremos uso do seguinte resultado.
Lema 15.1 Se f ¶e cont¶³nua no intervalo [a;b] e f0(x) = 0 para todo x 2]a;b[, ent~ao f ¶e constante em [a;b], ou seja, existe c 2 R tal que f(x) = c para todo x 2 [a;b].
Poder¶³amos aceitar o lema 15.1 como evidente e seguir adiante. No entanto, este lema ¶e conseqÄ uência de um teorema importante sobre fun» c~oes deriv¶aveis, conhecido como teorema do valor m¶edio. Como tornaremos a fazer uso do teorema do valor m¶edio mais adiante, julgamos oportuno cit¶a-lo agora.
Teorema 15.1 (Teorema do valor m¶edio) Suponhamos que f ¶e uma fun»c~ao con- t¶³nua no intervalo [a;b] e deriv¶avel no intervalo ]a;b[. Ent~ao existe w 2]a;b[ tal que f(b) ¡ f(a) b ¡ a
= f0(w)
Aceitaremos este teorema sem demonstra»c~ao, e faremos uma interpreta» c~ao ge- om¶etrica de seu resultado.
O quocientef(b) ¡ f(a) b ¡ a
¶e a taxa de varia» c~ao m¶edia,¢f
¢x, da fun»c~ao f, no inter- valo [a;b], sendo ¢x = b ¡ a e ¢f = f(b) ¡ f(a).
Ele