integrais

CURSO DE ENGENHARIAS – APOSTILA DE INTEGRAIS I
PROF. JOSÉ RENATO BUÊNCIO
FÓRMULAS E PROPRIEDADES DE INTEGRAIS
1)
2)

 k  f ( x) dx  k  f ( x) dx
 [ f ( x)  g ( x)] dx  f ( x) dx  g ( x) dx (sendo válida para mais de duas funções)

xn 1
 k (para n  1) n 1
1
4)  x - 1 dx   dx  ln | x |  k (para x  0 ) x  xn 1

 k , se n  -1 (resumindo as fórmulas (3) e (4)) n 5)  x dx  n  1
ln | x |  k , se n  -1

3)

n
 x dx 

6)

 dx  x  k (caso particular da fórmula (3))

7)



8)

e

9)

 .x
 e dx 

u'
1
du  ln | u |  k (extensão da fórmula (4)  du  ln u  k ) u u x dx  e x  k ou  e u du  e u  k

e .x


 k (consequência da fórmula (8))

ax
10)  a dx 
 k ( caso geral da fórmula (8)) ln a
11)  e u  u' du  e u  k (extensão da fórmula (8)) x 12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)

 sen u du  - cos u  k
 cos u du  sen u  k
 tg u du  - ln | cos u |  k
 cotg u dx  ln | sen u |  k
 sec u du  tg u  k
 cossec u du  - cotg u  k
 sec u  tg u dx  sec u  k
 cossec u  cotg u du  - cossec u  k
2

2

1

20)

1 u

21)

a

22)



23)



24)

 x  a dx  ln | x  a | k

2

du  arc tg u  k

1
1
u du  arc tg  k (extensão da fórmula (20))
2
a a u
1
du  arc sen u  k
1 u2
1
u du  arc sen  k (extensão da fórmula (22))
2
2 a a u

2

1

25)  sec u du  ln | sec u  tg u |  k

26)  sec3 u du =

1
sec u  tg u  ln | sec u  tg u |  k
2

PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS

1)
2)

 k  f (u) du  k  f (u) du
[ f (u)  g (u)] du  f (u) du  g (u) du (sendo válida para mais de duas funções)

un 1
 k (para n  1) n 1
1
4)  u - 1 du   du  ln | u |  k (para u  0 ) u u n  1

 k , se n  -1 (resumindo as fórmulas (3) e (4)) n 5)  u du  n  1
ln | u |  k , se n  -1

3)

n
 u du 

6)

e

u

du 