Integrais

Terça Feira

Cálculo Integral e Equações
Diferenciais

02.11.2014 Integrais Múltiplas e Equações
Diferenciais

Revisão para segunda avaliação AV1

Código: EXA246 A
Turmas: ELE213AN, MEC213AN

Prof. Hans-Ulrich Pilchowski

Notas de aula

Integrais e Equações Diferenciais

Prof. HANS-ULRICH
PILCHOWSKI
Integrais Duplas
A definição de integral dupla

∫∫ f (x, y)dxdy comporta uma interpretação geométrica análoga

à definição de integral definida simples, associando-a ao problema de cálculo de volume
(ou cubatura) da mesma forma que a integral definida é associada ao cálculo de área.
Se f (x, y ) < 0 os volumes ∆V são negativos e obtém-se − V como integral. Assim, uma definição precisa de Integral Dupla pode ser colocada na forma: Supondo que o domínio
D de uma função pode ser colocada no interior de um retângulo definido pela base a ≤ x ≤ b e pela altura c ≤ y ≤ d no plano XY , e a base a ≤ x ≤ b for dividido em n intervalos, isto é,

b−a
, a altura c ≤ y ≤ d também for dividido em m intervalos, isto é, n d−c
. Então, esta decomposição do retângulo a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d em n × m sub-retângulos m é denominado de partição regular, e cada sub-retângulo é uma célula desta partição, onde n m

cada uma possui uma área ∆x i ⋅ ∆y j = ∆A ij , donde, D = ∑∑ ∆A ij . Note-se que quanto i =1 j=1

maiores forem n e m menor será cada. Assim, para cada ponto toma-se o valor médio das
x

(

y 

)

coordenadas, isto é,  i , j  = x i * , y j* e obter-se-á uma área infinitesimal ∆A e
 2 2
∆V = f (x i , y j ) ⋅ ∆A . O volume total aproximado será dado pela soma de todos os ∆V , isto é, V ≈ ∑∑ f (x i , y j ).∆A .
Desta forma a soma de Riemann corresponde à partição estendida, quando n → ∞ e é o volume total dado pela soma, m → ∞ ⇒ ∆A → 0
V
V=

∫∫ (

)

f x i , y j dA = lim

D

domínio D , onde

i, j → ∞

∑∑ f (x , y )∆A , n m

i

denominada integral dupla de f (x , j) sobre o

j

i