Integrais

Matemática Superior - UVB

Aula 11
Pontos Críticos e Aplicações da
Derivada
Objetivos da Aula
Fazer o estudo da variação de uma função por meio das derivadas, determinando os intervalos nos quais ela é crescente ou decrescente, os seus extremos, os pontos de inflexão e também mostrar algumas aplicações do cálculo de máximos e mínimos na resolução de problemas de otimização relacionados à área econômica e administrativa.

Funções Crescentes e Decrescentes
Uma função é crescente em um intervalo (a , b) se para quaisquer dois números e em (a , b), ( ) < que ( ), sempre que
< (figura 1 abaixo).
Uma função é decrescente em um intervalo (a , b), se para quaisquer dois números e em (a , b), ( ) > f ( ), sempre que
< (figura 2 abaixo).

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Matemática Superior - UVB

Dizemos que f é crescente em um ponto c se existe um intervalo (a
, b) contendo c tal que f é crescente em (a , b). semelhantemente, dizemos que f é decrescente em um ponto c se existe um intervalo (a
, b) contendo c tal que f é decrescente em (a , b).
Como a taxa de variação de uma função em um ponto x = c é dada pela derivada da função naquele ponto, a derivada presta-se naturalmente para ser uma ferramenta na determinação dos intervalos, onde uma função diferenciável é crescente ou decrescente. De fato, a derivada de uma função em um ponto mede não só a declividade da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto, como também a taxa de variação da função no mesmo ponto. Na verdade, em um ponto onde a derivada é positiva, a declividade da reta tangente ao gráfico é positiva e a função é crescente. Em um ponto onde a derivada é negativa, a declividade da reta tangente ao gráfico é negativa e a função é decrescente (figura abaixo).

Essas observações conduzem-nos ao seguinte teorema importante:
a) Se f ‘(x) > 0 para cada valor de x em um intervalo (a , b), então f é crescente em (a , b).
b) Se f ‘(x) < 0 para cada valor de x em um intervalo (a ,