Historia

12)x² + y² + 2x + 6y + 9 = 0

Completando os quadrados,

x² + 2x + 1 + y² + 6y + 9 = 0 + 1

(x + 1)² + (y + 3)² = 1

A circunferência tem centro C(-1,-3) e raio 1.

O coeficiente da reta que passa pelo centro da circunferência e pela origem tem coeficiente angular m = 3 e, logo, sua equação é expressa por

y = 3x

O ponto P(a,b) é comum (interseção) às duas equações, e portando deve ser solução do sistema,

{a² + b² + 2a + 6b + 9 = 0
{b = 3a

Resolvendo o sistema,substituindo b = 3a, temos:

a² + (3a)² + 2a + 6(3a) + 9 = 0

a² + 9a² + 2a + 18a + 9 = 0

10a² + 20a + 9 = 0

Δ = 20² - 4.10.9 = 400 – 360 = 40

√40 = √4.10 = 2√10

a = (-20 ± 2√10) / 20

a = -20/20 ± 2√10/20

a = -1 ± √10/10

a´ = -1 - √10/10

a´´ = -1 + √10/10

Sendo que a´´ = -1 + √10/10 é mais próxima que a´, uma vez que a´ intercepta a circunferência num ponto diametralmente oposto a P.
Organizando a solução, arrumando os termos, temos

a = √10/10 - 1

e b é dado em função de a,portanto

b = 3a

(Opção c)

11) As circunferências x² + y² - (2a +b)x + 2ay +15 = 0 e x² +y² - 3x - (a +2b)y + 2 são concêntricas (..)? x² + y² - (2a +b)x + 2ay +15 = 0 ou seja
1) x² - (2a +b)x + y² + 2ay = -15

e x² +y² - 3x - (a +2b)y + 2 = 0 ou seja
2) x² - 3x +y² - (a +2b)y = -2

Lembrando que a equação da circunferência de raio R e centro em x=A e y=B é

(x-A)² + (y-B)²=R²

vamos deixar as equações 1) e 2) escritas desta forma de produto notável.

Vamos usar a relação que x²+Cx = (x+C/2)²-(C/2)² (como treino, confira!) ou que, pelo menos raciocínio, y²+Cy = (y+C/2)²-(C/2)². Temos então:

1) x² - (2a +b)x + y² + 2ay = -15
[x - (2a +b)/2]² - (2a +b)²/4 + (y+a)² -a² = -15

Ou seja, podemos reescrever a equação como sendo
3) (x - a -b/2)² + (y+a)² = R² ...... aonde R²= -15 + (2a +b)²/4 + a²

Agora vamos reescrever a equação 2) x² - 3x +y² - (a +2b)y = -2 .
Usando de novo a relaçao x²+Cx = (x+C/2)²-(C/2)² , obtemos:
(x-3/2)² - 9/4+[y-(a