Hiperbole e Elipse

Hipérbole e Elipse

Hipérbole

-Definição:
Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P a estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a, onde a 2c).

-Elementos de uma Elipse:

F1 e F2 → são os focos
C → Centro da elipse
2c → distância focal
2a → medida do eixo maior
2b → medida do eixo menor c/a → excentricidade

Também há uma relação entre os valores a, b e c → a2 = b2+c2

-Equação da Elipse:
1º caso: Elipse com focos sobre o eixo x.

Nesse caso, os focos têm coordenadas F1( - c , 0) e F2(c , 0). Logo, a equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo x será:

2º Caso: Elipse com focos sobre o eixo y.

Nesse caso, os focos apresentam coordenadas F1(0 , -c) e F2(0 , c). Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo y será:

Exemplo 1: Determine a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x, com eixo maior medindo 12 e eixo menor 8.

Solução:
Temos que
2a = 12 → a =6
2b = 8 → b = 4
Assim,

Exemplo 2:
Determine a equação reduzida da elipse sabendo que um dos focos é F1(0 , -3) e que o eixo menor mede 8.

Solução:
Temos que
Se F1(0 , -3) → c = 3 e o foco está sobre o eixo y.
2b = 8 → b = 4
Usando a relação notável: a2 = b2+c2, obtemos: a2 = 42+32 → a2 = 16 + 9 → a2 = 25 → a = 5
Assim, a equação reduzida da elipse será: