Guidorizzi Cap 1

CAPÍTULO 1
Exercícios 1.2
2.n) Como x2 ϩ 3 Ͼ 0 para todo x, o sinal de x(x2 ϩ 3) é o mesmo que o de x; logo, x(x2ϩ 3) Ͻ 0 para x Ͻ 0; x(x2 ϩ 3) ϭ 0 para x ϭ 0; x(x2 ϩ 3) Ͼ 0 para x Ͼ 0.
1
e, ϩ1 tendo em vista a compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação, obtém-se:

3. n) Como x2 ϩ 1 Ͼ 0 para todo x, multiplicando-se os dois membros por

(2x Ϫ 1)(x2 ϩ 1)Ͻ 0 ¤ 2x Ϫ 1 Ͻ

x2

0
1
¤ 2x Ϫ 1 Ͻ 0 ¤ x Ͻ .
1 ϩ x2
2

4.
Ϫ a3 x3 Ϫ x 3 ϩ ax 2
Ϫ ax 2 ϩ a 2 x
Ϫ a 2 x ϩ a3
0

xϪa x 2 ϩ ax ϩ a 2

Ê 2 b cˆ b b2 b2 cˆ
Ê 2
8. a) ax2 ϩ bx ϩ c ϭ a Ë x ϩ x ϩ ¯ ϭ a Á x ϩ x ϩ 2 Ϫ 2 ϩ ˜ . Agora a¯ a a a
4a
4a
Ë
2
2
2
Ϫ
b c ⌬ b b b ˆ
Ê
. ϩ ϭϪ é só observar que x 2 ϩ x ϩ 2 ϭ x ϩ e Ë
4 a2
4 a2 a a
4a
2a ¯
14. Como x2 ϩ 1 Ͼ 0 para todo x, multiplicando-se os dois membros por x2 ϩ 1 e lembrando da compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação, tem-se:
5x ϩ 3
Ն 5 ¤ 5x ϩ 3 Ն 5(x2 ϩ 1) x2 ϩ 1

15. Falsa. Para x Ͼ 2, a afirmação será verdadeira, pois, neste caso, teremos x Ϫ 2 Ͼ 0 e pela compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação teremos:

x2 ϩ x ϩ 1
Ͼ 3 ¤ x2 ϩ x ϩ 1 Ͼ 3(x Ϫ 2) xϪ2 Para x Ͻ 2, teremos x Ϫ 2 Ͻ 0, e daí e pela compatibilidade mencionada anteriormente

x2 ϩ x ϩ 1
Ͼ 3 ¤ x2 ϩ x ϩ 1 Ͻ 3(x Ϫ 2) xϪ2 0 raiz de P(x) deveremos ter a0␣n ϩ a1␣n Ϫ 1 ϩ ... ϩ an Ϫ 1␣ ϩ an ϭ 0. an .
Dividindo os dois membros por ␣, resulta: a0␣n Ϫ 1 ϩ a1␣n Ϫ 2 ϩ ... ϩ an Ϫ 1 ϭ Ϫ
␣
Como o primeiro membro dessa igualdade é número inteiro, pois, por hipótese, ␣, a0, a1, ..., an é um número inteiro, logo, ␣ é divisor de an. an Ϫ 1 são inteiros, resulta que
␣
16. Sendo ␣

17. a) Como os coeficientes do polinômio x3 ϩ 2x2 ϩ x Ϫ 4 são números inteiros, o número inteiro ␣ terá chance de ser raiz da equação se ␣ for divisor do termo independente
Ϫ4. Os divisores de Ϫ4 são: 1, Ϫ1, 2, Ϫ2, 4 e Ϫ4. Para verificar se algum destes números é raiz, o único jeito é substituí-lo na equação. Por