Guerra

Geometria Analítica, Elipse

Elipse de centro na origem (0,0) do plano cartesiano
1 – Definição:

Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a > c.
Assim é que temos por definição:
PF1 + PF2 = 2 a
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse.
Como, por definição, a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade. 2 – Equação reduzida da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever:
PF1 + PF2 = 2.a

[pic]

onde o eixo A1A2 de medida 2a, é denominado eixo maior da elipse e o eixo B1B2 de medida 2b, é denominado eixo menor da elipse.
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

[pic]
Observe que x – (-c) = x + c.

Quadrando a expressão acima, vem:
[pic]
Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima e fazendo a2 – c2 = b2 , a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a: b2.x2 + a2.y2 = a2.b2
Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:

[pic]

que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).
Notas:
1) como a2 – c2 = b2 , é válido que: a2 - b2 = c2, onde c é a abcissa de um dos focos da elipse.
2) como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
3) o ponto (0,0) é o centro da elipse.
4) se o eixo