giroscopio

1. Diagramas

2. Estudo do movimento de um pião

Um pião é um giroscópio no qual uma das extremidades do eixo está assente no solo, sem possibilidade de deslizamento.

ω0: velocidade de rotação do giroscópio em torno do seu eixo I: momento de inércia do giroscópio em torno do seu eixo Ip: momento de inércia do giroscópio em torno do eixo vertical de precessão L: vetor momento cinético do giroscópio L0: vetor momento cinético do giroscópio em torno do seu eixo L0 = Iω0 Lp: vetor momento cinético do giroscópio em torno da vertical (precessão) d: distância do centro de gravidade do giroscópio ao ponto de contacto com o solo θ: ângulo do giroscópio com a vertical φ: ângulo do giroscópio em torno da vertical Ω: velocidade média da rotação do giroscópio em torno da vertical (velocidade de precessão) Ω = dφ/dt τ: vetor momento do peso, em relação ao ponto de contacto com o suporte

Lei de Newton: dL/dt = τ

dLx/dt = τx = mgd senθ cos φ dLy/dt = τy = mgd senθ senφ dLz/dt = τz = 0

dLz/dt = τz = 0 => Lz = constante

A precessão do giroscópio é explicada pela constante de Lz. De facto, quando se liberta um giroscópio, ele tende a inclinar-se sob o efeito de τ. Deste modo, L0z diminui e, portanto, é necessário um termo suplementar (Lp ) para manter Lz constante. Este termo provém da precessão do giroscópio em torno do eixo vertical à velocidade angular Ω.

3. Velocidade angular de precessão

dL = L sen θ dφ (ver diagrama) dL/dt = L sen θ dφ/dt dL/dt = L Ω sen θ => dL/dt = Ω ^ L

Ora: dL/dt = τ = mgd senθ
L sen θ Ω = mgd senθ L Ω = mgd

Sendo Ω sempre inferior a ω0, Lp é muito inferior a L0.
L² = L0² + Lp² + 2 L0Lp sen θ

L0 >> Lp logo: L² = L0² + 2 L0Lp senθ = L0² (1 + 2 Lp/L0 senθ)
Lp/ L0