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Filho de João Gonçalves da Costa, português ligado a mineração, e Teresa Ribeira de Alvarenga, mineira, nasceu no sítio da Vargem do Itacolomi, freguesia da vila do Ribeirão do Carmo, atual cidade de Mariana em Minas Gerais.
Em 1749, aos vinte anos de idade, embarcou para Portugal, matriculando-se na Universidade de Coimbra, onde obteve o Bacharelatoem Cânones. Entre 1753 e 1754, retornou ao Brasil, dedicando-se à advocacia em Vila Rica (atual Ouro Preto). Jurista culto e renomado à época, ali exerceu o cargo de procurador da Coroa, desembargador, e, por duas vezes, o de secretário do Governo. Por incumbência da Câmara de Ouro Preto elaborou a "Carta Topográfica de Vila Rica e seu termo".
Aos sessenta anos de idade teve uma participação colateral na Conjuração Mineira. Detido e, para alguns, apavorado com as conseqüências da acusação de réu de inconfidência, interrogado uma vez só, morreu em circunstâncias obscuras, em Vila Rica, no dia 4 de julho de 1789. Oficialmente, teria cometido suicídio por enforcamento na prisão.
Os registros da trajetória da vida de Cláudio revelam uma bem sucedida carreira no campo político, literário e profissional. Foi secretário de governo, poeta admirado até em Portugal e advogado dos principais negociantes da capitania no seu tempo. Acumulou ampla fortuna e sua casa em Vila Rica, era uma das melhores vivendas da capital. Sólida e construção que ainda lá está a desafiar o tempo. A memória de Cláudio Manuel da Costa, porém, não teve a mesma sorte. Até hoje paira sobre ele a suspeita de ter sido um miserável covarde que traiu os amigos e se suicidou na prisão, outros negam até a própria relevância da sua participação na inconfidência mineira, pintando-o como um simples espectador privilegiado, amigo de Tomás Antônio Gonzaga e Alvarenga Peixoto, freqüentadores assíduos dos saraus que ele promovia.
Obras realizadas por Cláudio Manuel da Costa:
Culto Métrico – 1749
Munúsculo Métrico – 1751