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LISTA DE EXERCÍCIOS DE COMPOSIÇÃO E INVERSÃO DE FUNÇÕES - GABARITO

1. Sejam funções reais definidas por e . Determine:
Solução. Em cada item, basta encontrar a composição e aplicar no ponto indicado.
i) f(g(x)) = f(x + 5) = 3(x + 5) + 1 = 3x + 15 + 1 = 3x + 16. ii) g(f(x)) = g(3x + 1) = (3x + 1) + 5 = 3x + 6.
a) = 3(3) + 16 = 9 + 16 = 25.
b) = 3(- 4) + 6 = - 12 + 6 = - 6.
c) = 3x + 16.
d) = 3x + 6.
2. Sejam funções reais definidas por e . Determine:
Solução. Resolvido de forma diferente do exercício 1. Observe que o resultado é o mesmo se utilizássemos o método anterior.
a) = f(1 – 7) = f(- 6) = (- 6)2 + 1 = 36 + 1 = 37.
b) = g[(1)2 + 1] = g(2) = (2) – 7 = – 5.
c) = f(x – 7) = (x – 7)2 + 1 = x2 – 14x + 49 + 1 = x2 – 14x + 50.
d) = g(x2 +1) = (x2 +1) – 7 = x2 – 6.
3. Dadas as funções definidas por f(x) = 2x – 1 e g(x) = , determine o valor de:
Solução.
a) f(g(10)) =

b) x tal que f(g(x))= 0. Temos: Essa fração será nula se o numerador o for. Logo, 2x + 10 = 0 se x = - 5.

4. Dada a função , determine .
Solução. Substituindo 3x – 2 = t vem: Logo, Desenvolvendo o 2º membro temos: Como essa lei vale para qualquer variável, temos que
5. Uma função real é tal que . Se , determine o valor de .
Solução. Esse problema indica uma observação na lei de formação. Repare que aparece sempre um denominador 4. Logo precisamos tratar os números mostrados sempre dessa forma. Veja.

6. Sejam funções reais definidas por e .
Resolva, em R, as equações:

a) . Temos Essa expressão será nula se x2 – 4 = 0. Resolvendo temos: x = 2 ou = - 2.

b) . Temos Essa expressão será igual a 1 se x2 – 2x – 2 – 1 = 0 ou x2 – 2x – 3 = 0. Fatora-se: (x + 1).(x – 3) = 0. Logo os valores são: x = - 1 ou x = 3.

c) . Temos Essa expressão será igual a 1 se x4 – 6x2 + 6 – 1 = 0 ou x4 – 6x2 + 5 = 0. Substituindo x2 = y, temos: y2 – 6y + 5= 0. Fatorando a equação vem: (y – 5) (y – 1) = 0. Logo os valores de y são: y = 5 ou y = 1. Substituindo em x2, vem: ou

7. Uma função real é tal