Formas lineares, bilineares e quadráticas

Formas Lineares

Definição: Seja V um espaço vetorial real. A forma linear é a transformação linear

f : V[pic]R.

Exemplos:

1- f : R²[pic] R tal que f (x, y) = x+y

2- f : R³[pic] R tal que f (x, y, z) = 2x-y+5z

3- Na forma matricial:

[pic]

O resultado desta transformação linear é um número real.

Formas Bilineares

Considerando funções que se portem mais ou menos como produtos internos, ou seja, funções que a cada par de vetores associam um número que de tal forma que uma vez fixado o primeiro vetor, a função seja uma forma linear em relação ao segundo vetor, e vice-versa.

Definição: Seja V um espaço vetorial real. Uma forma bilinear é uma aplicação B: VxV [pic] R definida por (v, w) [pic] B(v, w) tal que:

I- Para todo w fixado, B(v,w) é uma forma linear em v. B([pic] = B([pic] + B([pic] e B([pic]

II- Para todo v fixado, B(v, w) é uma forma linear em w. B([pic]

e B[pic]

Exemplo:

O produto usual de números reais:

p: RxR [pic] R

Verificando I e II:

p(x, y+z) = x(y+z) = xy + xz = p(x, y) + p(x, z)

p(αx, y) = αx . y = α(xy) = αp(x, y)

Do mesmo jeito, são verificadas outras propriedades.

Matriz de um forma bilinear:

Matriz de uma forma bilinear é toda matriz na forma:

[pic]

[pic]

Forma bilinear simétrica:

Definição: A forma bilinear B: VxV [pic] R é simétrica se B(v, w) = B(w, v) para todo v, w [pic] V.

Formas Quadráticas:

Definição: Seja V um espaço vetorial Q(v) = B(v, v) é chamada forma quadrática associada a B.

Exemplo:

Q: R³[pic]R

Q(x, y, z) = 3x² + 2xy + 4y² + 5yz

Em relação à base canônica de R³, Q é dada na seguinte forma matricial:

[pic]

Q(x, y, z) = Ax² + By² + Cz² + Dxy + Eyz +