Folha3 SOL

I

S

C
A
Matemática Aplicada II

C
Soluções da Folha no 3

Ano Lectivo 2014/2015

permutação

termo

sinal

(1,2)

a11 a22

+1

(2,1)

a12 a21

−1

1. (a)

(b) det (A) =

a11 a12 a21 a22

.

= a11 a22 − a12a21. termo sinal

(c) Por exemplo: t1 = b11b23 b37 b44b52b65b76

+1

t2 = b13b21 b37 b46b52b65b74

+1

2. (a) −1;

(b) −2;

(c) 0;

.

(d) 3.

3. (a) 9.
(b) i. −9;
(c) i. 0;

ii. −9; ii. 0;

iii. 9; iii. 0;

iv. −9; iv. 0;

v. 9.

vi. −9.

v. −8.

4. det(A) = −5 e det(B) = 3.
5. (a) −3;

(b) −5;

(c) −2;

(d) 1;

(e) −131;

(f) 5.

6. –––
7. (a) –––
(b) det 3ABA−1B T B −1 B −1 = 27.
8. det(DE) = 25.
9. |B| = 10
10. (a) |B| = 32;

(b) |2A−1| = 2;

11. (a) A é invertível para k ∈ IR\ {0, 1} ;

(c) |B T | = 32;

(d) |B −1A| = 18 .

(b) B é invertível para k ∈ IR\ {−3, 2}

12. car(AB T )=2 e det AB T = 0 (det AB T = 6).
13. (a)|C| = 1.

1

(b) A matriz C é regular ∀x ∈ IR.
(c) CC T = C T C = I3.
(d) C T

−1

= C.

14. (a) –––
(b) Para α não nulo e β ∈ IR\ {−1, 1} não nulo, o sistema é possível e determinado; para α não nulo e β ∈ {−1, 1} o sistema é possível e indeterminado (com 1 grau de indeterminação).
(c) S = {(1, 0, 0)} .
15. (a) –––


6



 
1
(b) X = 
− 2  .
1
16. (a) (x, y) = − 43 , 1 ;

17.

A

−1



=

1
2
2
3

0
− 13

(b) (x, y, z) = (1, −16, 9) .





B −1 = 


;

3
5
1
5

2
5

− 45

− 15

− 25

2
5

2
5
1
5




;




1
3


C −1 = 
 0
1
3

1
3
1
3

− 13

0

2
3

18. (a) O elemento de A−1 que se encontra na posição (2, 3) é 0.


−1


(b) Adj(A) = 
 0

4

−1




0 
.
−1 0
1

−2 0
0

(c) AAdj(A) = det(A)I3 = 
 0 −2 0
0
0 −2


1
−2 12
2


(d) A−1 = 
0 
 0 1
.
1
0 − 12
2
 
3
 

(e) X = 
2 .
1
2
(f) det (A Adj (A) A−1) = −8.

19. (a) Falso.

−2

(b) Verdadeiro.




.


(c) Verdadeiro.

2

(d) Verdadeiro.

(e) Falso.




0 
.