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I

S

C
A
Matemática Aplicada II

C
Folha n.o 7

Ano Lectivo 2014/2015
III. MÉTODOS NUMÉRICOS
1.Determinação de raízes: Método da Bissecção.
Método de Newton.
2.Determinação de extremos: Método da Bissecção.
Método de Newton.
1. Considere a função f definida em IR por f (x) = x3 + 4x2 − 10.
(a) Mostre que f é contínua e que tem um zero em [1, 2];

(b) Sabendo que esse zero é único, obtenha uma sua aproximação pelo método da bissecção, fazendo 3 iterações, determinando um majorante para o erro cometido.
2. Considere a função f definida em IR por f (x) = x3 − 9x + 3.
(a) Sabendo que f tem apenas um zero no intervalo [0.25, 1], determine um valor aproximado desse zero, utilizando o método da bissecção, fazendo 3 iterações. Determine um majorante para o erro cometido;
(b) Para o erro obtido na alínea anterior, use o método de Newton para aproximar o zero de f com x0 = 0.25. Compare o resultado obtido com o da alínea (a).
3. (a) Usando o método de Newton, determine uma aproximação para a raiz quadrada de 3, escolhendo x0 = 2, com erro inferior a 0.02;
(b) Para o mesmo erro, determine o número mínimo de iterações necessárias caso usasse o método da bissecção.
√
4. Usando o método da bissecção, calcule uma aproximação para 3 25 em [2, 3], fazendo 2 iterações, e indique um majorante para o erro cometido.
5. Da função f sabe-se que é contínua e que tem apenas um zero no intervalo I. Utilizando o método da bissecção, determine um valor aproximado do zero de f (ou seja, da raiz da equação f (x) = 0) no intervalo I com erro inferior a ε, sendo:
(a) f (x) = x3 + 2x2 − 2, I = [0.7, 0.9] e ε = 0.03;
(b) f (x) = sen (x) − ln (x), I = [2.15, 2.25] e ε = 0.02;
−5
10
15
(c) f (x) =
−
, I = [−0.5, 0.4] e ε = 0.25;
2 + x + 1 (x + 1)
(x + 1)3
1
(d) f (x) = ln (x − 1) −
, I = [2, 3] e ε = 0.15; x−1 (e) f (x) = |x| − e−x , I = [0.5, 1] e ε = 0.15.
6. Aproxime a raiz das equações seguintes, fazendo 2 iterações do método de Newton, sabendo que em I a raiz é única:
1

(a) x2 − 1 − ln (x +