Folha6 sol

I

S

C
A
Matemática Aplicada II

Ano Lectivo 2014/2015

C
Soluções da Folha no 6

1. (a) a(x, y) tem quatro pontos críticos: (1, 2), (1, −2), (−1, 2) e (−1, −2). Calculando a matriz

hessiana de a(x, y), conclui-se que a (1, 2) = 2 é mínimo local, que a (−1, −2) = 38 é

máximo local e que os restantes pontos críticos não são extremantes de a(x, y).
(b) b(x, y) tem quatro pontos críticos: (0, 0), hessiana de b(x, y), conclui-se que b

2
,0
3

críticos não são extremantes de b(x, y).

=

2
,0
3
4
− 27

, (1, 1) e (1, −1). Calculando a matriz

é mínimo local e que os restantes pontos

(c) c(x, y) tem um ponto crítico: (0, 0). Nada se pode concluir usando a matriz hessiana de c(x, y) mas, como c(0, 0) = 0 e c(x, y) = x4 + y 4 ≥ 0, ∀(x, y) ∈ IR2, conclui-se que o ponto

(0, 0) é um minimizante absoluto (e, portanto, também local) de c(x, y), sendo o mínimo

de c(x, y) igual a c(0, 0) = 0.
(d) d(x, y) tem um ponto crítico: (0, 0). Nada se pode concluir usando a matriz hessiana de d(x, y) mas, como d(0, 0) = 0 e d(x, y) = x4 + y 4 + x2 ≥ 0, ∀(x, y) ∈ IR2 , conclui-se que

o ponto (0, 0) é um minimizante absoluto (e, portanto, também local) de d(x, y), sendo o mínimo de d(x, y) igual a d(0, 0) = 0.
(e) e(x, y) tem dois pontos críticos: (0, 0) e (1, 1). Calculando a matriz hessiana de e(x, y), conclui-se que (1, 1) é um minimizante local, sendo o mínimo de e(x, y) igual a e (1, 1) = −2, e que (0, 0) não é extremante de e(x, y).
(f) f (x, y) tem um ponto crítico: 0, 12 . Calculando a matriz hessiana de f (x, y), conclui-se que 0, 12 é um maximizante local, sendo o máximo de f (x, y) igual a f 0, 12 = −1.
(g) g(x, y) tem um ponto crítico: (0, 0). Nada se pode concluir usando a matriz hessiana de g(x, y) mas, como g(0, 0) = −4 e g(x, y) = −(x − y 2)2 − y 4 − 4 ≤ −4, ∀(x, y) ∈ IR2, conclui-se que o ponto (0, 0) é um maximizante absoluto (e, portanto, também local) de

g(x, y), sendo o máximo de g(x, y) igual a g(0, 0) = −4.
(h) h(x, y) tem um ponto crítico: (0, 0), para o qual