Folha3 GE

I

S

C
A
Matemática Aplicada II

C
Folha n.o 3

Ano Lectivo 2014/2015
I. CÁLCULO MATRICIAL

3. Determinantes: Definição. Método da condensação. Teorema de Laplace. Método misto.
Aplicações dos determinantes: Regra de Cramer e cálculo da inversa.

1. Sejam A = [aij ] ∈ M2 (IR) e B = [bij ] ∈ M7 (IR).
(a) Determine todos os termos da matriz A e os respectiva sinais.
(b) Calcule det (A).
(c) Indique dois termos distintos da matriz B que tenham b52 e b37 como factores e indique o seu sinal.
2. Calcule, por definição:
(a)

1 2
3 5

;

(b)

8

−2

−1

0

;

1 1

1

(c) 1 2

0

1 1 −1
;

(d) 0 1

0

1 0

2

1 3 −1

1 2 1
3. (a) Calcule 2 1 3 .
2 1 0

(b) Usando a alínea anterior e as propriedades dos determinantes, indique o valor de: ii. 1 2 1 ;

i. −2 −1 −3 ;
−2 −1

2 1 0

2 1 3

−1 −2 −1

iii. 1 2 1 ;

2 1 0

0

2 1 3
2

1 2 2

3 2 1 iv. 1 1 2 ;

v.

2 1 1

;

vi. 1 + 2α
2+β

1 3 0

0 2 1

1
2+α
1 + 2β

(c) Usando exclusivamente propriedades dos determinantes, calcule:
1 1

1

i. 0 0

0

3 6

3 1 4

1

3

1 0

1

2

2 0

1

4

3 0

1 −1 1 0

;

v.

1

iii. 2 4 −2 ;

ii. 2 2 2 ;

;

1 3 −1

iv.

1 2

1 1 1

1 0

0

0

1 2

0

0

1 3 −1 0
2 5 −1 4
1

.

4

3
1 + 3α . β .

4. Considere as seguintes matrizes:




1 1 1


1 2
 e B = 2 1 1  .
A=


2 −1
3 2 −1
Calcule o determinante de A e o determinante de B:
(a) por definição;
(b) pelo Método da condensação;
(c) usando exclusivamente o Teorema de Laplace.
5. Calcule:
(a)

0

1

3 −2

0 1 −2
;

1 1

3 1 1 0
0 0 1 0

(c) 0 0 1 ;

(b) 3 1 −1 ;

1 0 3 2
(d)

1 0 3

;

(e)

0 0 0 1

1 2 1

0

1

2

2

3

1

0

−2

0

3 −1

1

−2

4 −3

0

2

2 1 1 1
;

(f)

1 2 1 1
1 1 2 1

.

1 1 1 2

6. Mostre que:
1

1 a c
(a) 1 b c = (b − a) (d − c) ;

(b)

1 b d

1

1 a+1

1

1

1

1

1

1

b+1

1

1

1

1

c+1

= abc .

7. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3 tais que det(AB) = 6.
(a) Justifique que A e B são invertíveis.
(b) Calcule o valor de det 3ABA−1B T B −1 B −1 .
8. Sejam D e E matrizes quadradas de ordem 3, com