exercícios

Aula 16
Integra»c~
ao por partes
H¶a essencialmente dois m¶etodos empregados no c¶alculo de integrais inde¯nidas (primitivas) de fun»c~oes elementares. Um deles ¶e a integra»c~ao por substitui»c~ao, explorada na aula 15, que retomaremos adiante, em novos casos. O outro m¶etodo ¶e chamado de integra»c~ao por partes, que exploraremos nesta aula.
Suponhamos que u = u(x) e v = v(x) s~ao duas fun»co~es deriv¶aveis em um certo intervalo I ½ R. Ent~ao, para cada x em I, temos
[u(x) ¢ v(x)]0 = u0 (x) ¢ v(x) + u(x) ¢ v 0 (x)
Z

Assim sendo,

ou seja,

Z

[u0 (x)v(x) + u(x)v0 (x)] dx = u(x)v(x) + C
Z

0

v(x)u (x) dx +

u(x)v 0 (x) dx = u(x)v(x) + C

Podemos escrever ainda
Z
Z
0
u(x)v (x) dx = u(x)v(x) ¡ v(x)u0 (x) dx

(16.1)

aqui considerando que a constante gen¶erica C j¶a est¶a impl¶³cita na u¶ltima integral.
Sendo u = u(x) e v = v(x), temos du = u0 (x) dx e dv = v0 (x) dx, e passamos a f¶ormula 16.1 µa forma abreviada
Z

Z u ¢ dv = u ¢ v ¡

v ¢ du

As f¶ormulas 16.1 e 16.2 s~ao chamadas f¶ormulas de integra»c~ao por partes.

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(16.2)

~o por partes
Integrac
»a
Exemplo 16.1 Calcular

R

139

x sen x dx.

Solu»c~ao. Tomaremos u = x, e dv = sen x dx.
R
Teremos du = 1 dx = dx, e v = sen x dx.
Para os prop¶ositos da integra»c~ao por partes, basta tomar v = ¡ cos x, menospreR zando a constante arbitr¶aria da integral v = sen x dx, pois uma tal escolha da fun»c~ao v ¶e su¯ciente para validar a f¶ormula 16.2.
Temos ent~ao

Z

Z x sen x dx =

u ¢ dv
Z
= u ¢ v ¡ v ¢ du
Z
= x ¢ (¡ cos x) ¡ (¡ cos x) dx
Z
= ¡x cos x + cos x dx

= ¡x cos x + sen x + C
Exemplo 16.2 Calcular

R

x ln x dx.

Solu»c~ao. Tomamos u = ln x, e dv = x dx.
R
1 x2 Teremos du = dx, e v = x dx. Tomamos v = . x 2
Temos ent~ao
Z
Z x ln x dx = u ¢ dv
Z
= u ¢ v ¡ v ¢ du
Z 2 x2 x 1
=
¢ ln x ¡
¢ dx
2
2 x
Z
x2 x =
¢ ln x ¡ dx 2
2
x2 x2 =
¢ ln x ¡
+C
2
4
Exemplo 16.3 Calcular

R

arc tg x