Exercícios de Cálculo Numérico

5a Lista de Exercícios de Cálculo Numérico
1. Use o método de Euler para resolver

 y = 2y
 y(0) = 1 no intervalo [0, 1] usando h = 0.1, h = 0.2 e h = 0.25. Esboce o gráfico das soluções numéricas obtidas e da solução exata.
2. Considere o problema

 y = λy
 y(0) = y

0

1. Mostre que o método de Euler com passo h gera a sequência yi = (1 + λh)i y0 , i = 0, 1, . . .
2. Use Euler para encontrar uma solução numérica com λ = −0.5, y0 = 1 e h = 0.25 no intervalo [0, 1]
3. Considere o problema

 y (x) = y(x) + x2 + 3
 y(0) = −2 no intervalo [0, 2]. Use Euler com passo h = 0.25 para obter uma aproximação da solução. 4. Considere o problema

 y (y) = (x + 1)(y + 1)
 y(0) = 1
a) Determine a fórmula de passo simples para o método de Euler. Considerando h = 0.1, calcule aproximações para y(0.1) e y(0.2).
b) Determine a fórmula de passo simples para o método de Taylor de ordem 3 e aproxime y(0.1) e y(0.2).

5. Considere a equação

 y (x) = 2y(x) − 5 sen x
 y(0) = 1 que tem solução exata y(x) = 2 sen x − 5 cos x. Esboce o gráfico da solução no intervalo
[0, 4] e das soluções numéricas obtidas usando Euler e Taylor de ordem 2, com passo h = 0.50
6. Considere o PVI





y2 − 1 x2 + 1

 y(0) = 1 y =

Calcule aproximações para x(1), usando o método de Euler, método de Euler melhorado com h = 0.2 e h = 0.25.
7. Considere o PVI



 y = x+1 y+1 
 y(0) = 1

1. Encontre a fórmula de avanço de x a x + h para o Método de Euler. Para h = 0.1, calcule aproximações para y(0.1) e y(0.2)
8. Dada a equação diferencial y =

√
2y com y(0) = 2, aproxime y(1) usando Runge-

Kutta de ordem 2 e ordem 4, considere h = 0.25. Compare com a solução exata y(1) = 9/2.
9. Considere o PVI
{y (x) = 2y(x) − 5 sen (x)y(0) = 1 que tem como solução exata y(x) = 2 sen (x) + cos(x). Esboce o gráfico no intervalo
[0, 4] da solução exata e as obtidas usando os métodos de Euler e Taylor ordem 2, ambos com passo h = 0.05