Exercicios resolvidos de equacoes de bernoulli

Equação diferencial de Bernoulli
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Em , do formulário
<math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n\, </math> é chamado a Equação diferencial de Bernoulli ou frequentemente apenas Equação de Bernoulli.
A fim resolver esta equação, nós atravessamos as seguintes etapas: Primeiramente nós dividimo-nos por <math>y^n</math>:
<math>\frac{y'}{y^{n}} + \frac{P(x)}{y^{n-1}} = Q(x).</math> (1)
Então, nós mudamos com
<math>w=\frac{1}{y^{n-1}}</math>
e
<math>w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y '.</math>
Após a substituição, nós começamos à 1a ordem a equação diferencial
<math>\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)</math> (2) qual pode ser se usar resolvido
<math>M(x) = e^{(1-n)\int P(x)dx}.</math>
Exemplo
Considere a equação de Bernoulli
' - \frac{2y}{x} = - x^2y^2 <math>y.</math>
Após dividir-se por <math>y^2</math> nós começamos
<math>y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = - x^2</math> assim as mudanças variáveis são
<math>w = \frac{1}{y}</math> e <math>w ' = \frac{-y'}{y^2}.</math>
Isto conduz a
<math>w ' + \frac{2}{x}w = x^2</math> qual pode ser resolvido usando o fator integrando
<math>M(x) = e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2.</math>
Após ter multiplicado ambos os lados por <math>M(x)</math> nós temos
<math>w'x^2 + 2xw = x^4, \, </math> e pode-se anotar que o lado esquerdo é de <math>wx^2</math> (recordação que <math>w</math> é uma função de <math>x</math>). Integrando ambos os lados nós encontramos dx do <math>\int (wx^2) ' = \int x^4 dx</math> qual dá
<math>wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C, </math>
<math>\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C</math> e finalmente
<math>y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}.</math>

A Equação de Bernoulli
A equação

onde e