eutanasia

Coeficiente de correlação linear

Objetivo
Estudar a relação entre duas variáveis quantitativas.

Exemplos:
Idade e altura das crianças
Tempo de prática de esportes e ritmo cardíaco
Tempo de estudo e nota na prova
Taxa de desemprego e taxa de criminalidade
Expectativa de vida e taxa de analfabetismo

Investigaremos a presença ou ausência de relação linear sob dois pontos de vista:
a) Quantificando a força dessa relação: correlação. b) Explicitando a forma dessa relação: regressão. Representação gráfica de duas variáveis quantitativas: Diagrama de dispersão

Exemplo 1: nota da prova e tempo de estudo
X : tempo de estudo (em horas)
Y : nota da prova
Pares de observações (Xi , Yi) para cada estudante
Nota(Y)
4,5
6,5
3,7
4,0
9,3

Diagrama de Dispersão
9,5
8,5
7,5

Nota

Tempo(X)
3,0
7,0
2,0
1,5
12,0

6,5
5,5
4,5
3,5
0

5

10

Tempo

Coeficiente de correlação linear

É uma medida que avalia o quanto a “nuvem de pontos” no diagrama de dispersão aproxima-se de uma reta.
O coeficiente de correlação linear de Pearson é dado por:

sendo que,

X e Y são as médias amostrais de X e Y, respectivamente
S X e S Y são os desvios padrão de X e Y, respectivamente.

No exemplo:
Tempo (X)

Nota (Y)

(X - X)

(Y - Y)

(X - X) (Y - Y)

3,0

4,5

-2,1

-1,1

2,31

7,0

6,5

1,9

0,9

1,71

2,0

3,7

-3,1

-1,9

5,89

1,5

4,0

-3,6

-1,6

5,76

12,0

9,3

6,9

3,7

25,53

25,5

28,0

0

0

41,2

X = 5,1

Y = 5,6

(-2,1) 2 + ... + (6,9) 2
78,2
2
Sx =
=
= 19,55 ⇒ S x = 4,42
4

4

(-1,1) 2 + ... + (3,7) 2
21,9
2
Sy =
=
= 5,47 ⇒ S y = 2,34
4

Então, r= 41,2
= 0,9959
4 . 4,42 . 2,34

4

Propriedade: -1 ≤ r ≤ 1
Casos particulares: r = 1 ⇒ correlação linear positiva e perfeita r = -1 ⇒ correlação linear negativa e perfeita r = 0 ⇒ inexistência de correlação linear

r = 1, correlação linear positiva e perfeita