Estudo Dirigido Geometria

Lemniscata de Bernoulli
A Lemniscata de Bernoulli é a curva algébrica do quarto grau de equação cartesiana:

A lemniscata também pode ser descrita pelas coordenadas polares abaixo,

pela respectivas coordenadas bipolares,

ou pela equação paramétrica:
Coordenadas bipolares

A curva tem a forma similar ao numeral 8 e o símbolo de infinito ().
A lemniscata foi descrita primeiramente por Jakob Bernoulli em 1694 como uma modificação da elipse, que é o lugar geométrico de pontos para qual a soma das distâncias para cada um de dois focos fixos é uma constante. A Oval de Cassini, por sua vez, é o lugar de pontos para os quais o produto destas distâncias é constante. No caso onde a curva atravessa o ponto no meio caminho entre os focos, a oval é uma lemniscata de Bernoulli.
Bernoulli chamou isto de lemniscus que em latim significa "faixa suspensa". A lemniscata pode ser obtida como o inverso geométrico de uma hipérbole, com o círculo de inversão centrado no centro da hipérbole (bissetriz de seus dois focos).
Derivadas
Cada derivada abaixo foi calculada usando derivações implícitas.

Com em função de

Com em função de

Curvatura
Quando as duas primeiras derivadas são conhecidas, a curvatura é facilmente calculada:

O sinal a ser escolhido deve ser de acordo com a direção de movimento ao longo da curva. A lemniscata tem a propriedade da qual a magnitude da curvatura em qualquer ponto é proporcional à distância daquele ponto da origem.
Comprimento de arco como parametro e funções elipticas
A determinação do comprimento de arco como parâmetro da lemniscata levou às integrais elípticas, descobertas durante o século XVIII. Por volta de 1800, essafunção elíptica era estudada por Carl Friedrich Gauss. Largamente inédito na ocasião, mas foram feitas insinuações a elas nas notas de sua obra "Disquisitiones Arithmeticae".
Seção
É possível obter a curva, secionando-se um torus por meio de um plano paralelo ao eixo de revolução. A tangência do perímetro interno origina