Estudo Dirigido As Funções Seno e Cosseno

ESTUDO DIRIGIDO
AS FUNÇÕES SENO E COSSENO
26 de abril de 2011

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Os gráficos de seno e cosseno

Problema 1 - Trace o gráfico da função y = sen(x) sobre o intervalo 0 ≤ x ≤ 4π.

Observando este gráfico:
(a) Determine o conjunto imagem da função seno?

(b) Definiremos como amplitude a metade da diferença entre a maior imagem e a menor imagem de uma função. Determine a amplitude da função seno.

(c) Determine as seguintes imagens: x sen(x)

π
2

π

3π
2

2π

1

5π
2

3π

7π
2

4π

(d) A partir destas imagens, o que podemos dizer sobre o valor de sen(x) e sen(x +
2π)?

(e) Mostre que sen(x) = sen(x + 2π) para qualquer ângulo x. Dica: utilize a fórmula do seno da soma sen(a+b) = sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) para desenvolver o membro direito. Definição 1 : Uma função é dita periódica se existe um número real T (não-nulo), tal que f (x+T ) = f (x) para todo x em seu domínio. O número T é chamado período da função. A freqüência f é definida como o inverso do período, ou seja, f= 1
,
T

e a freqüência angular é definida como ω = 2πf =

2π
.
T

(f ) Determine o período, a freqüência e a freqüência angular da função sen(x)?

2

Problema 2 - Trace o gráfico da função y = cos(x) sobre o intervalo 0 ≤ x ≤ 4π

Observando este gráfico:
(a) Determine o conjunto imagem da função cosseno?

(b) Determine a amplitude da função cosseno.

(c) Determine as seguintes imagens: x cos(x)

π
2

π

3π
2

2π

5π
2

3π

7π
2

4π

(d) A partir destas imagens, o que podemos dizer sobre o valor de cos(x) e cos(x+2π)?

(e) Mostre que cos(x) = cos(x + 2π) para qualquer ângulo x. Dica: utilize a fórmula do cosseno da soma cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sen(a)sen(b) para desenvolver o membro direito.

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(f ) Determine o período, a freqüência e a freqüência angular da função cos(x)?

Pelos exercícios anteriores vimos que os parâmetros fundamentais das funções seno e cosseno são a amplitude, o período, a freqüência e a freqüência angular. Um outro parâmetro importante que ainda não foi considerado é o