estudante

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO – CCEN –ÁREA II
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO FINAL – GEOMETRIA ANALÍTICA
Prova realizada no dia 23 de agosto de 2007
Nas questões 1, 2 e 3, considere um sistema ortogonal de coordenadas no espaço tridimensional (oxyz).
1. (Peso 2,0) Considere

os

pontos

A(0 , 0, 0 ) ,

B(1, 1, 0 ) , C( 0, 1, 0 ) e D(1, 0, 2 ) .

a) Determine a área do triângulo ABC ;
b) Determine o volume do tetraedro ABCD .

Solução:





a) O modo mais rápido de se calcular a área do triângulo ABC é tomar os vetores AB 
1, 1,0 



 e AC 
0, 1, 0 , calcular o módulo do produto vetorial desses vetores e, em seguida, dividir este resultado por dois.

i







Temos, AB AC 1
0

 j 1
1

 k 
0 k 
0 ,0 ,1.
0






 1
1
1
Daí, Área 
ABC  AB AC  
0,0,1 u.a
2
2
2





b) O volume do tetraedro ABCD pode ser determinado pelos vetores AB 
1, 1, 0 ,








AC 
0, 1, 0  e AD 
1, 0, 2 . Sabe-se que o módulo do produto misto desses vetores é numericamente igual ao volume do paralelepípedo. Assim, o volume do tetraedro é dado pela sexta parte deste valor.

1 1 0



 






Temos, AB AC AD 0 1 0 2 .





1

0

2



 





 1
1
1
Portanto, Volume 
ABCD  AB AC AD  2  u.v
6
6
3





2. (Peso 2,0) Considere as retas
x 1 t

concorrentes r : y 0 e z t


π

x 1t

s : y t .
z 0


a) Escreva a equação geral do plano  que contém as retas r e s .
b) Determine a distância do ponto P( 2, 1, 1) ao plano .

Solução:
a) Sabe-se que as retas r

e s são

concorrentes. Assim, um vetor normal do plano 

 é



dado

v s 
1, 1, 0  e

por



v s v r ,

onde



v r 
1, 0,1 são

os





v s v r

vr

π

 vs respectivos vetores