Estruturas Metalicas

Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciˆencias Exatas Departamento de Matem´atica

Uma Aplica¸c˜ao de
A´ lgebra Linear `a Engenharia Civil:
Projeto de Estrutura Met´alica
Prof. Ricardo Takahashi – DMAT

Considere o problema do projeto de uma estrutura met´alica como esbo¸cada na Figura 1. Trata-se de um guindaste que dever´a i¸car cargas. O problema consiste em determinar qual ´e o esfor¸co mecˆanico em cada viga da estrutura, de modo que se possa escolher as vigas com a resistˆencia adequada.
F1 F2

PSfrag replacements

Figura 1: Diagrama de estrutura met´alica composta de vigas.

O c´alculo das for¸cas que incidem na estrutura, F1 e F2, ´e imediato, conhecendo-se a massa que ir´a ser suspensa e o comprimento do bra¸co do guindaste. Com essas for¸cas, ´e preciso agora calcular a for¸ca exercida por cada viga nos n´os (pontos de interse¸cao de duas ou mais vigas) para que a estrutura permane¸ca em equil´ıbrio. Essas for¸cas serao denotadas pelas vari´aveis fij , em que os ´ındices indicam os n´os ligados por esta viga. Assim, por exemplo, a for¸ca f41 significa a for¸ca exercida sobre o n´o 4 pela viga que liga o n´o 4 ao n´o 1.
A somat´oria das for¸cas em cada n´o, de 1 a 6, deve ser nula tanto na dire¸cao horizontal quanto na dire¸cao vertical. Para montar o conjunto de equa¸coes, tomemos como exemplo o n´o 1. O n´o 1 ´e afetado pelas vigas que o ligam aos n´os 2, 3 e 4. As equa¸coes que implicam no equil´ıbrio de for¸cas sobre o n´o 1 sao:

f12 cos θ12 + f13 cos θ13 + f14 cos θ14 = F1

f12 sin θ12 + f13 sin θ13 + f14 sin θ14 = 0

(1)

sendo que θij representa o aˆngulo entre a viga (ij) e a vertical. Construindo cada equa¸cao da somat´oria das for¸cas em cada um dos n´os, obt´em-se o seguinte conjunto de equa¸coes:

f12 cos θ12 + f13 cos θ13 + f14 cos θ14 = F1 f12 sin θ12 + f13 sin θ13 + f14 sin θ14 = 0 f21 cos θ21 + f23 cos θ23 + f24 cos θ24 = F2 f21 sin θ21 + f23 sin θ23 + f24 sin θ24 = F2 f31 cos θ31 + f35 cos θ35 + f32 cos