Estatistica

11 Modelos Teóricos Discretos de Probabilidades

Quando aplicamos a Estatística na resolução de problemas é comum verificarmos que alguns têm características semelhantes. Nesses casos podemos estabelecer modelos matemáticos que nos ajudarão nas suas soluções.

Os modelos trabalham com os seguintes componentes:
1- Os possíveis valores que a variável aleatória pode assumir;
2- A função de probabilidade associada a ela;
3- O valor esperado, e
4- A variância e o desvio padrão estimado.

11.1 Distribuição de Bernoulli.

Se uma variável aleatória x:

• só pode assumir os valores 0 e 1,
• com p(x=0)=q e p(x=1)=p,
• onde p é a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso,
• onde p+q=1,

então a variável x admite distribuição de Bernoulli onde:

x p(x) x. p(x) (x - )²p(x)
0 q 0 p²q = p².(1-p)
1 p p (1-p)².p total 100% p p².(1-p) + (1-p)².p xp Lembre que p = 1-q e que p+q = 1 ² (x) = p².(1-p) + (1-p)².p = ² (x) = p(1-p) (p+(1-p)) = ² (x) = pq (p+q) = pq(1) = ² (x) = p q

Exemplo:

1 – No lançamento de uma moeda, a variável aleatória x anota o numero de caras obtidas. Determine a media, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x.

Os possíveis resultados de x são 0 e 1, com probabilidades 0,5 para cada valor. Este é um caso em que se pode aplicar o modelo de Bernoulli. Então:

2 – No lançamento de um dado a variável aleatória x anota o numero de faces 3 obtidas neste lançamento. Determine a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x.

Os possíveis resultados de x são 0 e 1, com probabilidades 5/6 e 1/6 para cada valor respectivamente. Este é um caso em que se pode aplicar o modelo de Bernoulli. Então:

3 – Uma carta é retirada ao acaso de um baralho com 52 cartas. A variável aleatória x anota o numero de damas obtidas nesta retirada. Determine a média, a variância e o desvio padrão da variável