Equações Diferencias

Equações Diferenciais de Ordem Superior

Uma EDO de segunda ordem é da forma d2y / dt2 = f (t, y, dy / dt) ou entãoy’’= f(t, y, y’).(1)
Dizemos que a equação y’’= f(t, y, y’) é linear quando a função ffor linear em ye y’, ou então quando a equação y’’= f(t, y, y’) puder ser escrita na forma: y’’ + p(t)y’ + q(t)y = g(t),(2) onde p, qe gsão funções de uma variável t.
Em geral uma EDO de segunda ordem linear pode ser apresentada na forma
P(t)y’’+ Q(t)y’+ R(t)y = G(t).(3)
Para os valores em que P(t)≠ 0 podemos dividir a equação por P(t) e obter a forma geral (2): y’’+ Q(t) / P(t) * y’ + R(t) / P(t) * y = G(t) / P(t).
Iremos estudar métodos para resolver EDO’S de segunda ordem lineares.
Um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem tem que er duas condições iniciais y(t0) = y0 e y’(t0) = y’0. Ou seja,

y’’ + p(t)y’ + q(t)y = g(t) y(t0) = y’ y’(t0) = y’0

é um problema de valor inicial (P.V.I.).
Uma equação linear de segunda ordem é homogênea se a função g(t)na equação y’’ + p(t)y’ + q(t)y = g(t),(ou a função G(t) na equação P(t)y’’+ Q(t)y’+ R(t)y = G(t)) forem identicamente nulas, isto é, y’’ + p(t)y’ + q(t)y= 0 ou
P(t)y’’+ Q(t)y’+ R(t)y= 0 são equações diferenciais lineares homogêneas.
Veremos que será fundamental saber resolver os problemas de equações homogêneas para poder depois resolver as equações não homogêneas, onde os termos g(t) (ou G(t)) podem ser funções não nulas.

Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem
Uma grande quantidade de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem pode ser escrita na sua forma normal, dada por: y’ = f(x, y) ou quando a função f = f(x, y) pode ser escrita como o quociente de duas outras funções M = M(x, y) e N = N(x, y), temos: y’=M(x, y) / N(x, y)
É vantajoso manter o sinal negativo antes da fração, na forma. y’ = - M(x, y) / N(x, y), pois usando o fato que dy = y’(x)dx, poderemos escrever M(x, y)dx + N(x, y) dy = 0
Exemplos:

1. A