Equações diferencias

Equação Diferencial Exata
As equações diferenciais exatas são equações diferenciais ordinárias que assumem a forma dw = 0.
A homogeneidade (termo forçante igual à zero) é essencial porque a solução desta equação é uma primitiva w cujo diferencial está expresso na equação.

Definição de Equação Diferencial Ordinária
Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da forma
F (x,y(x), ý(x),Ӳ(x), ...,y(n) (x)) = 0
Envolvendo uma função incógnita y = y (x) e suas derivadas ou suas diferenciais. X é a variável independente, y é a variável dependente e o símbolo y (k) denota a derivada de ordem k da função y = y (x). 1. Ӳ + 3ý + 6y = sin (x) 2. (Ӳ)3 + 3ý + 6y = tan (x) 3. Ӳ + 3y ý = ex 4. ý= f (x,y) 5. M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

Ordem e Grau de uma Equação Diferencial

A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação, quando a equação tem a “forma” de um polinômio na função incógnita e em suas derivadas, como, por exemplo:
Ay(3) + By(2) + Cy(1) + Dy(0) = 0

1. Ӳ + 3ý + 6y = sin (x) e Ӳ + 3yý = ex têm ordem 2 e grau 1. 2. (Ӳ)3 + 3 (ý)10 + 6y = tan (x) tem ordem 2 e grau 3. 3. ý = f (x,y) e M (x,y)dx + N (x,y)dy = 0 têm ordem 1 e grau 1.

Equações Exatas de primeira ordem
Na sequência, utilizaremos a notação Mx = dM dx para a derivada parcial da função M = M (x,y) em relação à variável x. Uma equação na forma diferencial M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 será exata, se existir uma função F = F (x,y) cuja diferencial exata dF = FxdX + Fydy coincide com Mdx + Ndy = 0, isto é: dF = M (x,y) dx + N (x,y) dy

Exigindo algumas propriedades de diferenciabilidade das funções M e N, temos um outro critério para a garantia que esta equação é exata.
Diremos que a equação Mdx + Ndy = 0 é exata se My = Nx.
Exemplos:
1) A forma