Equações diferenciais

Matemática Aplicada às Telecomunicações (Curso LESTE) Aula nº 8

6- Equações Homogéneas
Uma função f=f(x,y) é dita homogénea de grau k se, para todo t real, tem-se que: f(tx,ty) = tk f(x,y) Uma função f=f(x,y) é homogéneo de grau 0 se, para todo t real, se tem que: f(tx,ty) = f(x,y) Exemplos: Funções homogéneas 1-f(x,y)=x²+y² é de segundo grau. 2-f(x,y)=(x/y)² é de grau zero. 3-f(x,y)=arctan(y/x) é de grau zero. Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função polinomial é constatar que todos os monómio da função têm o mesmo grau e no caso de uma função racional (quociente de polinómios), todos os membros do numerador têm um mesmo grau e todos os membros do denominador também possuem um mesmo grau. Uma EDO que está na forma normal y'=f(x,y) é homogénea se a função f=f(x,y) é homogénea de grau zero. Exemplos de EDO homogéneas: 1-y'=(x²+y²)/xy 2-y'=x²/y² 3-y'=arctan(y/x) Nota: Uma equação homogénea reconhece-se pela presença de polinómios homogéneos do mesmo grau. 4 xy + y 2 t 2 4 xy + y 2 2 2 ' Exemplo ( x + x ) dy − ( 4 xy + y ) dx ⇔ y = 2 = f ( x, y ) ≠ f ( tx, ty ) = x +x t tx 2 + x Resolvemos uma EDO homogénea, transformando-a em uma EDO com variáveis separáveis através da substituição y(x)=ux onde u=u(x) é uma nova função incógnita. Se y(x)=ux então y ' = u + u ' x . Assim, uma equação da forma y'=f(x,y) pode ser transformada em uma equação separável da forma: x du/dx + u = f(x,xu) e após algumas mudanças obtemos uma equação com variáveis separáveis. Exemplo: A EDO y'=(x²+y²)/xy pode ser transformada em uma EDO separável com y=xu e y'=x.u '+u, para obter a sequência de operações: 1- x u ' + u = (1+u²)/u 2- x u ' + u = 1/u+ u 3- x u ' = 1/u 4- x du/dx = 1/u 5- u du = dx/x Com a integração em ambos os membros, obtemos u²=2ln(x)+C, logo: y²=x²(2ln(x)+C). Exercício

( tx ) = x 2 = f x, y , fazendo a x2 y = a equação da homogénea f ( tx, ty ) = ( ) 2txty 2 xy 2 xy substituição y=ux temos y ' = u + xu ' , logo
2
'

João Ferreira

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