engmec

Fundamentos Matemáticos da Computação
SI32E – 2012/02

Trabalho (valor 3,0 pontos na P2)
Demonstre, utilizando os métodos de integração vistos no curso, que a área A compreendida por um círculo de raio R é A = πR2.
Dica: calcule a área A = 4B compreendida entre os eixos x > 0 e y > 0 e a curva y(x), como indicado na figura abaixo: y y(x)
111111111111111
000000000000000
R
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
B
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
R
0
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000

x

θ(o) θ(rad) sen θ
0
0
0
30 π/6 1/2
√
45 π/4 2 /2
√
60 π/3 3 /2
90
π/2
1

Resolução:
Pelo Teorema de Pitágoras,
R2 = x2 + y 2

y(x) =

⇒

Assim,
R

B=
0

√
R2 − x2 dx.

Evidenciando R na função integrando, temos
√
R2 − x2 =

R2 1 −

x2
R2

=R

1−

x
R

1−

Assim,
R

B=R
0

2

dx.

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que b a

f (x)dx = F (b) − F (a),
1

x
R

2

.

√
R 2 − x2 .

sendo F a primitiva de f , isto é, F ′(x) = f (x) para todo x ∈ [a, b]. Assim, devemos encontrar a primitiva (ou seja, resolver a integral indefinida) da função integrando f (x) =

1 − (x/R)2 .

Fazendo a seguinte substituição de variável, u = g(x) =

x
,
R

du = g ′(x)dx =

1 dx R

Rdu = dx,

⇒

obtemos f (x)dx =

√
1 − u2 du.

√
1 − u2 (Rdu) = R

Fazendo nova substituição, du = h ′(θ)dθ = cosθ dθ,

u = h(θ) = sen θ, e lembrando da identidade trigonométrica sen2θ + cos2θ = 1

cos2θ = 1 − sen2θ

⇒

cosθ =

⇒

√
1 − sen2θ ,

temos
√

√
1 − sen2θ (cos θ)dθ =

1 − u2 du =

cos2θdθ.

(1)